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Equações de Lagrange

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Tópicos (breve introdução às equações de Lagrange no estudo dos movimentos): Lagrangiana e Equação do Movimento | Exemplo: pêndulo | Exemplo: pêndulo e mola |


1) Lagrangiana e Equação do Movimento

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A lagrangiana L de um sistema mecânico é dada pela relação:

$$L = T - U \tag{1A}$$
Onde:

T: energia cinética
U: energia potencial

A formulação de Lagrange usa o conceito de coordenada generalizada, isto é, um vetor de posição q (em geral convenientemente escolhido para facilitar a análise) e sua derivada em relação ao tempo $\dot{q}$ (velocidade representada na notação de praxe em vez de dq/dt). E, omitindo a demonstração, a equação do movimento é dada na forma genérica:

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) = \frac{\partial L}{\partial q} \tag{1B}$$
Se q for igual a um vetor de posição em coordenadas cartesianas, o desenvolvimento das derivadas resultará na segunda lei de Newton.


2) Exemplo: pêndulo

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A formulação de Lagrange para o movimento é genérica, mas, em conformidade com os propósitos desta página, analisa-se um caso particular de pêndulo plano simples conforme Figura 2-I.

No estudo clássico com as leis de Newton, há necessidade de um vetor de posição $\vec r$ com duas coordenadas rx e ry. Entretanto, o ângulo θ que a haste do pêndulo faz com a vertical define a posição, uma vez que o comprimento ℓ é supostamente constante. Portanto $\theta$ e $\dot \theta$ (velocidade angular) são as coordenadas generalizadas para este caso, equivalentes a $q$ e $\dot q$ do tópico anterior.

Pêndulo simples
Fig 2-I

A energia cinética é dada por:

$$T = \tfrac{1}{2} m (\ell \dot \theta)^2 \tag{2A}$$
A energia potencial é:

$$U = - m g \ell \cos \theta \tag{2B}$$
Conforme (1A), a lagrangiana do pêndulo é dada por:

$$L = \tfrac{1}{2} m (\ell \dot \theta)^2 + m g \ell \cos \theta \tag{2C}$$
Assim,

$$\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = m \ell^2 \dot \theta \\ \frac{\partial L}{\partial \theta} = - m g \ell \sin \theta$$
Substituindo em (1B), resolvendo e reagrupando, chega-se à equação final do movimento do pêndulo simples:

$$\ddot \theta + \frac{g}{\ell} \sin \theta = 0 \tag{2D}$$

3) Exemplo: pêndulo e mola

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No exemplo da Figura 3-I, o pivô P de um pêndulo simples está em um bloco de massa desprezível que pode deslizar sem atrito sob ação de uma mola ideal de constante k.

A expressão grau de liberdade pode ser definida como o número de variáveis independentes necessário para especificar a posição (não o movimento) de todas as partes do sistema. No exemplo anterior há apenas um grau de liberdade e, neste, há dois: a coordenada x do ponto P e o ângulo θ da haste do pêndulo com a vertical.

As coordenadas (x' e y) da massa m são:

$$x' = x + \ell \sin \theta \\ y = -\ell \cos \theta \tag{3A}$$
As velocidades da massa m são obtidas por derivação em relação ao tempo:

$$v_x = \dot x + \ell \dot \theta \cos \theta \\ v_y = \ell \dot \theta \sin \theta \tag{3B}$$
Pêndulo simples e mola
Fig 3-I

A energia cinética do pêndulo é calculada pela soma das parcelas para cada componente da velocidade:

$$T = \tfrac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) = \tfrac{1}{2} m (\dot x^2 + \ell^2 \dot \theta^2 + 2 \ell \cos \theta \ \dot x \dot \theta) \tag{3C}$$

A energia potencial é dada pela soma da parte relativa à mola com a parcela relativa á massa, dada no exemplo anterior:

$$U = \tfrac{1}{2} k x^2 - m g \ell \cos \theta \tag{3D}$$
A lagrangiana é dada segundo (1A):

$$L(x, \theta, \dot x, \dot \theta) = T - U \tag{3E}$$
Ela é função de 4 coordenadas $(x, \theta, \dot x, \dot \theta)$ em conformidade com as igualdades (3C) e (3D), para T e U respetivamente.

Omitindo o desenvolvimento, a aplicação da relação (1B) implica substituir (3C) e (3D) em (3E) e calcular separadamente as derivadas parciais para x e $\theta$, lembrando da regra geral para derivação de seno e cosseno: d(sin u)/dx = cos u du/dx e também d(cos u)/dx = −sin u du/dx. Obtém-se, portanto, o resultado em duas relações:

$$m \ddot x + kx = m \ell (\dot \theta^2 \sin \theta - \ddot \theta \cos \theta) \tag{3F}$$

$$\ddot \theta + \frac{g}{\ell} \sin \theta = - \frac{\ddot x}{\ell} \cos \theta \tag{3G}$$
Observa-se que o método é mais simples do que o uso direto das leis de Newton e coordenadas cartesianas. E a coerência dos resultados pode ser constatada através da aplicação de hipóteses específicas para cada equação:

• Se o pêndulo é fixo, $\theta = \text{constante} \therefore \ddot \theta = \dot \theta = 0$. Assim, (3F) é a relação de um sistema massa e mola.

• Se o ponto P é fixo, $x = \text{constante} \therefore \ddot x = \dot x = 0$. Assim, a igualdade (3G) indica o movimento de um pêndulo simples conforme (2D) no tópico anterior.
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio: Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Dez/2007