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Hélice, etc

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Tópicos: Hélice | Helicoide | Transportador de Rosca |


01) Hélice

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Seja, conforme Figura 1-I, uma reta vertical V que executa um movimento de rotação uniforme em torno do eixo vertical Z. Portanto, a superfície gerada é um cilindro de raio a e centro Z. Um ponto P que se move com velocidade constante ao longo dessa reta descreve a curva.

Hélice
Fig 1-I

Dessa definição, pode-se deduzir uma forma paramétrica das equações da hélice:

$$x = a \cos t\\y = a \sin t\\z = bt \tag{1A}$$
Analisando as igualdades,

• x e y têm as equações de um movimento circular uniforme de raio a e velocidade angular 1 (ω t = t e, portanto, ω = 1).

• z tem a equação do movimento uniforme de velocidade b.

A cada rotação completa, o ponto P se desloca verticalmente de uma distância h, denominada passo da hélice.Se o passo é positivo, o resultado é uma hélice direita. Passo negativo forma hélice esquerda.

Desde que ω = 1, o período é igual a 2 π / ω = 2 π. Nesse tempo, o deslocamento vertical deve ser h. Portanto, h = z = b t = b 2 π. Ou b = h / 2 π. Assim, os parâmetros de (1A) ficam definidos.

a: raio da hélice

$$b = h / (2\pi) \tag{1B}$$
h: passo da hélice

Para uma curva genérica, o comprimento de um arco entre pontos A e B é dado por:

$$\ell_{AB} = \int_A^B \Big[\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dz}{dt}\Big)^2 \Big]^{1/2} dt \tag{1C}$$
Aplicando a um passo da hélice (t = 2 π):

$$s_1 = \int_0^{2\pi} \Big[\Big(\frac{d(a \cos t)}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{d(a \sin t)}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{d(bt)}{dt}\Big)^2 \Big]^{1/2} dt \tag{1D}$$
$$s_1 = \int_0^{2\pi} \big[a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t + b^2 \big]^{1/2} dt \tag{1E}$$
$$s_1 = 2 \pi \sqrt{a^2 + b^2} \tag{1F}$$
Substituindo b e rearranjando, o comprimento de um passo da hélice fica definido em função do raio e do passo:

$$s_1 = \sqrt{(2 \pi a)^2 + h^2} \tag{1G}$$
Nota-se que (2 π a) é o comprimento de uma circunferência de raio a.


02) Helicoide

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É uma superfície gerada pela curva hélice: cada ponto da helicoide está sobre em uma hélice, por sua vez, contida na helicoide. Exemplo conforme Figura 2-I.

Sejam as equações paramétricas da hélice conforme tópico anterior (substituindo a variável t por v):

x = a cos v   y = a sin v   z = b v

Se o raio a é substituído por uma variável u, tem-se então uma superfície formada por uma infinita sequência de hélices de mesmo passo, ou seja, as equações paramétricas da helicoide:

$$x = u \cos v \\ y = u \sin v \\ z = b \ v \tag{2A}$$
De forma análoga à da hélice de passo h, a constante b é dada por:

$$b = h / (2 \pi) \tag{2B}$$
Exemplo de Helicoide
Fig 2-I

Se o passo é nulo, a helicoide se transforma em um plano. Pode-se então dizer que o plano é uma forma degenerada da helicoide.

Desde que a helicoide tem superfície infinita, há limites para as variáveis nas figuras apresentadas. Na Figura 2-I anterior, o limite inferior da variável u é zero e, portanto, a superfície toca o eixo vertical Z. Se o limite inferior de u é um valor a > 0 (e o superior A, mesmo do anterior), ocorre uma superfície segundo Figura 2-II.

Exemplo de Helicoide
Fig 2-II


03) Transportador de Rosca

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Seja uma superfície do tipo da Figura 2-II do tópico anterior, soldada a um eixo central para transportar por arraste materiais granulados diversos. A Figura abaixo indica um transportador típico.

Transportador de Parafuso
Fig 3-I

Em escala industrial, as superfícies são, em geral, produzidas por deformação a frio, mas é possível a confecção artesanal a partir da chapa plana em forma de anel circular (Figura 3-II), em seções de um passo. O perímetro da circunferência externa deve conter o comprimento de um passo de hélice de raio A e o perímetro da circunferência interna deve conter o comprimento de um passo de hélice de raio a.

Superfície para um Passo do Transportador
Fig 3-II

Usando a fórmula vista no tópico anterior,

sA = √ [ (2 π A)2 + h2 ]
sa = √ [ (2 π a)2 + h2 ]

A espessura (e) do anel deve ser igual à diferença entre raios:

e = R − r = A − a

Da relação de arcos e ângulos,

sA / R = sa / r
sa R = sA r

Da relação anterior, R = e + r. Substituindo,

sa (e + r) = sA r
sae + sa r = sA r
r (sA − sa) = sa e

Portanto,

$$r = \frac{s_a e}{s_A - s_a} \tag{3A}$$
Onde:

$$e = R - r = A - a \tag{3B}$$
$$s_A = \sqrt{(2\pi A)^2+h^2} \\ s_a = \sqrt{(2\pi a)^2+h^2} \tag{3C}$$
Também,

$$R = r + e = r + A - a \tag{3D}$$
$$\alpha = (2 \pi r - s_a) / r \tag{3E}$$
Capacidade do transportador: a cada volta do eixo, um passo da superfície é deslocado. Assim, o volume deslocado é π A2 h. Despreza-se o diâmetro do eixo porque se considera um grau de enchimento φ (de 0,15 para material pesado com muito atrito até 0,45 para material leve com pouco atrito).

Se n é a rotação do eixo em rpm, por hora ocorre 60 n. Assim, a capacidade do transportador em metros cúbicos por hora é dada por:

$$Q = \pi \ A^2 \ h \ \varphi \ 60 \ n \tag{3F}$$
Onde A e h são dados em metros.

Potência de acionamento: se o peso específico do material é γ em N/m3 (newton por metro cúbico), a vazão em peso é G = Q γ / 3600 em newton por segundo (N / s). Considerando um coeficiente de resistência f de 2 a 4, a potência em watts é:

$$P = G \ L \ f \tag{3G}$$
Onde L é o comprimento do transportador em metros (considerado na posição horizontal).
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow, Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Jan/2018