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Forças de Atrito I

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Tópicos: Atrito de Deslizamento | Exemplo: Cunha | Exemplo: Plano Inclinado | Exemplo: Elevador de Parafuso | Alguns Valores de Coeficiente de Atrito |

1) Atrito de Deslizamento

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O movimento relativo de dois corpos em contato é sempre acompanhado por uma força que se opõe ao deslocamento, genericamente denominada força de atrito ou de fricção. É um resultado estatístico da interação das moléculas em ambos os corpos.

Conforme figura a seguir, considera-se um corpo de peso P (que pode ser o seu peso próprio ou este último mais uma carga externa) sobre uma superfície plana e sob ação de uma força horizontal F. Haverá uma força de atrito A que se opõe à ação de F. A superfície exerce sobre o corpo a reação normal N. Supõe-se que o corpo desliza em movimento retilíneo uniforme. Assim, as somas das forças e dos momentos nele atuantes são nulas:

$$\sum F_Y = P + N = 0 \\ \sum F_X = F + A = 0 \\ \sum M = b N + a A = 0 \tag{1A}$$
A posição da linha de ação de N não é relevante para este caso e a última igualdade é dada apenas para completar a condição do movimento do corpo.

Força de atrito
Fig 1-I

Na prática, verifica-se que o módulo da força de atrito A é proporcional ao módulo de N:

$$A = \mu N \tag{1B}$$
O fator de proporcionalidade μ é denominado coeficiente de atrito para as duas superfícies. Esse coeficiente depende dos materiais em contato e de fatores como temperatura e presença de outros elementos nas superfícies tais como água, óleo. Entretanto, para os mesmos materiais e nas mesmas condições, a proporcionalidade é válida.

Outra característica observada: se o corpo está em repouso e a força F é aplicada de forma gradual, do zero até o instante em que o corpo começa a se mover, é verificado, nesse instante, um coeficiente de proporcionalidade diferente do anterior, com o corpo em movimento. Pode-se dizer então que um par de superfícies apresenta dois coeficientes de atrito:

• μe: coeficiente de atrito estático (iminência do deslizamento).

• μd: coeficiente de atrito dinâmico (em deslizamento).

O primeiro é sempre maior que o segundo, isto é,

$$\mu_e > \mu_d \tag{1C}$$
Nesta página a notação simples sem índice (μ) pode representar um ou outro, se ficar subentendido o tipo a que se refere.

A figura a seguir mostra o diagrama vetorial das forças atuantes conforme Figura 1-I.

Reação normal e força de atrito
Fig 1-II

A força resultante R pode ser considerada a reação total que a superfície aplica no corpo, incluindo a reação normal e a reação de atrito. O ângulo ϕ, que ela faz com a vertical, é o ângulo de atrito ou ângulo de deslizamento. De (1B) pode ser deduzido que:

$$\mu = \tan \phi \tag{1D}$$
Numericamente, o atrito pode ser dado pelo ângulo ou pelo coeficiente. Na prática, é mais comum o uso do coeficiente.


2) Exemplo: Cunha

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Na Figura 2-I, uma força horizontal F, aplicada à cunha C, tende a levantar a coluna B. Desprezando o peso próprio das partes e considerando o mesmo ângulo de atrito ϕ para todas as superfícies, deseja-se saber a intensidade da força F que levanta, sob velocidade constante, uma carga P sobre a coluna B.

Exemplo de atrito: cunha
Fig 2-I

A soma vetorial das forças deve ser nula para ambas as partes (B e C). Do diagrama da Figura 2-II,

$$\vec P + \vec R_2 + \vec R_1 = 0 \\ \vec F + \vec R_3 - \vec R_2 = 0 \tag{2A}$$
Forças atuantes na cunha
Fig 2-II

O diagrama vetorial para essas igualdades é dado na figura a seguir.

Soma vetorial das forças atuantes na cunha
Fig 2-III

Considerando as propriedades do triângulo,

$$F \big/ \sin c = R_2 \big/ \sin b \therefore F = R_2 \sin c \big/ \sin b\\ P \big/ \sin d = R_2 \big/ \sin e \therefore R_2 = P \sin e \big/ \sin d$$
Combinando,

$$F = P \sin c \sin e \big/(\sin b \sin d)$$
Para os ângulos,

$$a = 90 - \phi - \alpha\\ b = 90 - \phi \therefore \sin b = \cos \phi\\ c = \alpha + 2 \phi\\ d = 90 - 2 \phi - \alpha \therefore \sin d = \cos (2 \phi + \alpha)\\ e = 90 + \phi \therefore \sin e = \cos \phi\\ f = \phi + \alpha$$
Substituindo na anterior e simplificando,

$$F = P \tan (2 \phi + \alpha) \tag{2B}$$

3) Exemplo: Plano Inclinado

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Um corpo sobre um plano inclinado que faz um ângulo α com a horizontal e sob ação de seu peso próprio, conforme figura a seguir, tendo um ângulo de atrito ϕ com a superfície.

Plano inclinado
Fig 3-I

A indicação vetorial das forças é suficiente para concluir que o corpo permanece em repouso enquanto:

$$\alpha \leq \phi \tag{3A}$$

4) Exemplo: Elevador de Parafuso

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Um parafuso de filete de rosca retangular (Figura 4-I) é usado para levantar uma carga P. Deseja-se saber o momento M que será necessário aplicar em função dessa carga, dos diâmetros interno (Di) e externo (De) da rosca, do ângulo α da rosca e do ângulo de atrito ϕ.

Elevador de parafuso
Fig 4-I

Considera-se que cada filete da rosca suporta a carga P, distribuída uniformemente ao longo de um raio médio r, dado por (De + Di)/4. Assim, em cada porção infinitesimal de r, haverá uma reação dR que faz um ângulo (α + ϕ) com a vertical. Na condição de equilíbrio:

$$\sum F_Y = P - \int \cos(\alpha + \phi) dR = 0$$
Portanto,

$$\int dR = P / \cos(\alpha + \phi)$$
$$\sum M = M - \frac{D_e + D_i}{4} \int \sin(\alpha + \phi) dR = 0$$
Portanto,

$$M = \frac{D_e + D_i}{4} \sin(\alpha + \phi) \int dR$$
Combinando as igualdades e simplificando,

$$M = P \tan(\alpha + \phi) \frac{D_e + D_i}{4} \tag{4A}$$
Pode-se deduzir que, na situação inversa, isto é, descida, o parafuso gira com a simples aplicação da carga se α > ϕ.


5) Alguns Valores de Coeficiente de Atrito

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Material μe μd
Aço / aço (seco) 0,70 0,60
Bronze / aço (seco) 0,19 0,18
Cobre / aço (seco) 0,50 0,40
Madeira / madeira (seco) 0,50 0,30
Teflon / aço 0,04 0,04

A tabela dá apenas uma ideia de ordem de grandeza. Os valores de coeficiente de atrito podem variar porque dependem de condições diversas dos materiais, da composição, etc.
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
FAIRES, V. MORING. Elementos Orgânicos de Máquinas. Rio, Ao Livro Técnico, 1976.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jan/2018