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Eletromagnetismo 6-II

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Tópicos: Energia de uma Onda Eletromagnética | Dipolo Elétrico |


1) Energia de uma Onda Eletromagnética

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Em páginas anteriores, foram vistas fórmulas para densidade de energia (energia por unidade de volume) de campos elétricos e magnéticos no vácuo:

$$u_E = \tfrac{1}{2} ε_0 E^2 \tag{1A}$$ $$u_B = \tfrac{1}{2} \frac{1}{\mu_0} B^2 \tag{1B}$$
Da página anterior, tem-se a relação entre valores de campos:

$$E = c\ B \tag{1C}$$
E também a velocidade de propagação no vácuo:

$$c = \sqrt{ \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} }\tag{1D}$$
Combinando (1C) com (1D) para o valor de B e substituindo em (1B),

$$u_B = \tfrac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \tag{1E}$$
A densidade de energia da onda eletromagnética é a soma das duas parcelas:

$$u = u_E + u_B = \epsilon_0 E^2 \tag{1F}$$
Vetor de Poynting
Fig 1-I

A intensidade da onda I é dada pela energia que passa por unidade de tempo e por unidade de área, isto é, pelo produto da velocidade c pela densidade de energia:

$$I = c\ u = c \epsilon_0 E^2 \tag{1G}$$
No caso de onda senoidal,

$$E^2 = E_0^2 \sin^2(2 \pi x/\lambda - \omega t) \tag{1H}$$
Portanto, o valor médio de E2 é (1/2)E02. Substituindo em (1G), obtém-se o valor médio da intensidade para a onda senoidal:

$$I_m = \tfrac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2 \tag{1I}$$
Sejam, conforme Figura 1-I, E e B os vetores dos campos elétrico e magnético em um determinado instante de uma onda que se propaga para a direita ao longo do eixo x. O vetor de Poynting é definido pelo produto vetorial:

$$c^2 \epsilon_0 \vec E \times \vec B \tag{1J}$$
Das relações (1C) e (1G) deduz-se que o seu módulo é igual à intensidade da onda.


2) Dipolo Elétrico

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Um dipolo elétrico é um conjunto de cargas opostas +q e −q separadas de uma distância d. O momento de dipolo elétrico é uma grandeza vetorial dada pelo produto dessa carga pelo vetor de módulo igual a d e sentido da carga negativa para a positiva:

$$\vec p = q \vec d \tag{2A}$$
Na Figura 2-I, um dipolo genérico de momento $\vec p$ está localizado sobre o eixo x e simétrico em relação à origem 0. Segundo relações de eletricidade, o potencial elétrico de um ponto situado a uma distância r de uma carga q é:

$$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r} \tag{2B}$$
Para um ponto M genérico conforme figura, o potencial devido ao dipolo é a diferença dos potenciais relativos às duas cargas. Aplicando (2B) e simplificando,

$$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} q \frac{r'' - r'}{r' r''} \tag{2C}$$
Supondo a distância d pequena em relação a r, pode-se considerar r'r'' ≈ r2 e também r''−r' ≈ d cos α. Substituindo na anterior e usando a definição de momento de dipolo conforme (2A),

$$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{p \cos \alpha}{r^2} \tag{2D}$$
Dipolo elétrico
Fig 2-I

A relação simplificada entre campo e potencial elétrico é dada por:

$$E = - \frac{V_a - V_o}{ X_a} \tag{2E}$$
Onde Xa é a distância entre os pontos de potencial "a" e "o" na direção do campo. Essa igualdade é, na realidade, um caso particular de uma mais genérica:

$$E_x = - \frac{\partial V}{\partial x} \tag{2F}$$
Onde Ex é o componente do vetor campo elétrico na direção x.

Por analogia, pode-se deduzir os componentes radial e tangencial para o caso de coordenadas polares:

$$E_r = - \frac{\partial V}{\partial r}\\E_t = - \frac{\partial V}{\partial \ell} \quad \text{onde}\\ d\ell = r d\alpha \tag{2G}$$
As igualdades acima podem ser usadas em (2D) para determinar os componentes do campo elétrico do dipolo:

$$E_r = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 p \cos \alpha}{r^3} \tag{2H}$$

$$E_t = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \alpha} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{p \sin \alpha}{r^3} \tag{2I}$$

Na Figura 2-I, esses componentes (radial e tangencial) estão representados (sem correspondência gráfica) para uma linha de força genérica que passa pelo ponto M.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018