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Eletromagnetismo 6-I

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Tópicos: Ondas Eletromagnéticas |


1) Ondas Eletromagnéticas

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A existência de ondas eletromagnéticas foi provada, de forma prática, pelo físico alemão Heinrich Hertz no final do século XIX. O propósito deste tópico é a demonstração matemática da possibilidade de existência dessas ondas, conforme previsto por Maxwell, através da análise das equações do eletromagnetismo, cujo resumo pode ser visto na tabela da página Eletromagnetismo 5-VI. As igualdades dessa tabela podem ser consideradas um sistema de equações diferenciais com infinitas soluções. No presente estudo, supõem-se algumas premissas para um caso particular e verifica-se depois se é uma solução para esse sistema de equações.

Premissa 1/2: O espaço considerado é o vácuo e não há cargas nem correntes elétricas. Portanto, são nulos a carga elétrica por unidade de volume e a corrente elétrica por unidade de área.

$$\rho_e = 0\\ \vec j = 0 \tag{1A}$$
Premissa 2/2: Os vetores de campo elétrico e magnético são perpendiculares entre si e paralelos aos eixos de coordenadas conforme Figura 1-I.

$$E_x = E_z = 0 \therefore E = E_y \\ B_x = B_y = 0 \therefore B = B_z \tag{1B}$$
Aplicando essas premissas à primeira e à segunda igualdade da tabela da página mencionada, tem-se:

$$\partial E/\partial y = 0 \\ \partial B / \partial z = 0 \tag{1C}$$
Seja agora a terceira equação da tabela, que pode ser escrita na forma;

$$(\partial E_z / \partial y − \partial E_y / \partial z) + (\partial E_x / \partial z − \partial E_z / \partial x) + (\partial E_y / \partial x − \partial E_x / \partial y)= − \partial B / \partial t\tag{1D}$$

Considerando as premissas, a relação é simplificada para:

$$\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{\partial B}{\partial t} \tag{1E}$$
Procedendo de forma similar para a quarta equação da tabela, chega-se a:

$$\frac{\partial B}{\partial x} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \tag{1F}$$
Derivando (1E) relativo a x e (1F) relativo a t,

$$\partial^2 E/\partial x^ 2 = - \partial B^2/(\partial x \partial t)\\ \partial B^2/(\partial x \partial t) = -\mu_0 \epsilon_0 \partial^2 E/\partial t^2 \tag{1G}$$
Eliminando a expressão comum nessas duas igualdades,

$$\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} \tag{1H}$$
Vetores de campo elétrico e magnético e velocidade de propagação da onda eletromagnética
Fig 1-I

Conforme pode ser visto em Eletromagnetismo IV-1, a relação (1H) é a equação diferencial de uma onda E(x, t) que se propaga na direção do eixo x com velocidade:

$$c = \sqrt{\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}} \tag{1I}$$
Portanto, o campo elétrico se propaga ao longo de x com essa velocidade. Derivando agora (1E) relativo a t e (1F) relativo a x, chega-se a:

$$\frac{\partial^2 B}{\partial t^2} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \frac{\partial^2 B}{\partial x^2} \tag{1J}$$
Ou seja, o campo magnético também é uma onda que se propaga ao longo de x com a mesma velocidade anterior, dada por (1I). O cálculo de c com os valores conhecidos de μ0 e ε0 resulta aproximadamente 3 108 m/s, que é a velocidade da luz no vácuo. Portanto, as premissas estabelecidas no início deste tópico indicam ondas de campos elétricos e magnéticos ortogonais, ou seja, ondas eletromagnéticas.

Na mesma página citada (Eletromagnetismo IV-1) pode ser visto que a forma usual para as equações (1H) e (1J) é:

$$E = E(x - c t)\\B = B(x - c t) \tag{1K}$$
Para o caso comum de ondas senoidais, pode-se usar as fórmulas da página mencionada:

$$E(x, t) = E_0 \sin(2 \pi x/\lambda - \omega t)\\B(x, t) = B_0 \sin(2 \pi x/\lambda - \omega t) \tag{1L}$$
Onde E0 e B0 são as amplitudes das senoides, λ o comprimento de onda e ω a frequência angular (= 2 π f). E vale a relação:

$$\omega = 2 \pi \frac{c}{\lambda} \tag{1M}$$
Na Figura 1-II, uma representação gráfica dos campos elétricos e magnéticos senoidais.

Campos elétrico e magnético para ondas senoidais
Fig 1-II

Os valores de E0 e B0 não podem ser quaisquer. Eles devem obedecer a (1E) ou (1F). Derivando E e B,

$$\frac{\partial E}{\partial x} = \frac{2 \pi E_0}{\lambda} \cos(2\pi x/\lambda - \omega t)\\ \frac{\partial B}{\partial t} = - \omega B_0 \cos(2\pi x/\lambda - \omega t) \tag{1N}$$
Considerando (1E) e (1M), a substituição e simplificação resulta em:

$$E_0 = c\ B_0 \tag{1O}$$
O desenvolvimento matemático aqui não é dado, mas se pode demonstrar que os valores instantâneos também obedecem à igualdade anterior, isto é,

$$E = c\ B \tag{1P}$$
Polarização circular de uma onda eletromagnética
Fig 1-III

A forma geométrica do caminho de oscilação do campo elétrico E define a polarização da onda eletromagnética. Nos exemplos deste tópico (Figuras 1-I e 1-II) a polarização é plana e vertical. No exemplo de polarização circular da Figura 1-III, os vetores de campo giram à medida que avançam.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018