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Eletromagnetismo 5-VI

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Tópicos: Lei de Ampère-Maxwell | Lei de Ampère-Maxwell na Forma Diferencial | Tabela-resumo das Leis |


1) Lei de Ampère-Maxwell

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Na página Eletromagnetismo 3-I foi dada uma forma particular para a relação entre o campo magnético e um campo elétrico variável como o tempo: $\int_\ell \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} + \mu_0 i$. Consideram-se agora as definições $\Phi_E = \int_S \vec E \cdot \vec u dS$ e $i = \int_S \vec J \cdot \vec u dS$. Substituindo na anterior,

$$\int_\ell \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\left(\int_S \vec E \cdot \vec u dS \right)}{dt} + \mu_0 \int_S \vec j \cdot \vec u dS \tag{1A}$$

Conforme já mencionado, $\vec u$ é um vetor unitário perpendicular à área infinitesimal dS.


2) Lei de Ampère-Maxwell na Forma Diferencial

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De forma similar à usada no tópico Lei de Ampère na Forma Diferencial, usa-se um caminho retangular elementar de lados dx e dy no plano xy, de área dS = dx dy (Figura 2-I). No tópico mencionado, é desenvolvida a integral de linha do vetor campo elétrico E. Para o vetor campo magnético B (lado esquerdo da igualdade 1A do tópico anterior), o processo é o mesmo e aqui não é repetido. O resultado é dado por:

$$\int_{1234} \vec B \cdot d\vec \ell = \left( \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} \right) dxdy \tag{2A}$$

Lei de Ampère-Maxwell na Forma Diferencial
Fig 2-I

Resolvendo as integrais do lado direito da equação (1A) do tópico anterior,

$$\int_S \vec E \cdot \vec u dS = E_z dx dy \tag{2B}$$
$$\int_S \vec J \cdot \vec u dS = j_z dx dy \tag{2C}$$
Substituindo (2A), (2B) e (2C) nos correspondentes locais em (1A) e removendo por simplificação o produto dx dy,

$$\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_z}{dt} + \mu_0 j_z \tag{2D}$$

De modo semelhante a demonstrações prévias, considera-se agora o retângulo 1234 nos planos yz e, depois, em xz. Os resultados serão similares ao anterior:

$$\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{dt} + \mu_0 j_x \tag{2E}$$

$$\frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_y}{dt} + \mu_0 j_y \tag{2F}$$

Dos conceitos e definições sobre campos e operadores vetoriais, conclui-se que a soma de (D), (2E) e (2F) equivale à igualdade abaixo, que é a forma diferencial da lei de Ampère-Maxwell:

$$\mathrm{rot}\ \vec B = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{dt} + \mu_0 \vec j \tag{2G}$$


3) Tabela-resumo das Leis

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Pode-se notar a semelhança com a tabela da página Eletromagnetismo 5-IV. As diferenças estão na terceira e quarta igualdades, com a introdução de parcelas referentes a variações de campos com o tempo. No caso de campos estacionários, $\partial \vec B / \partial t = 0$ e $\partial \vec E / \partial t = 0$, as equações são as mesmas da tabela da página mencionada.

Quanto às duas primeiras (leis de Gauss para campo elétrico e magnetismo), experimentos demonstram que continuam válidas para campos não estacionários e, portanto, permanecem sem modificações.

Lei de: Forma integral Forma diferencial
Gauss para Campo Elétrico $$\int_S \vec E \cdot \vec u dS = \frac{q}{\epsilon_0}$$ $$\mathrm{div}\ \vec E = \frac{\rho_e}{\epsilon_0}$$
Gauss para Campo Magnético $$\int_S \vec B \cdot \vec u dS = 0$$ $$\mathrm{div}\ \vec B = 0$$
Indução de Faraday $$\int_\ell \vec E \cdot d\vec \ell = - \frac{d\left(\int_S \vec B \cdot \vec u dS\right)}{dt}$$ $$\mathrm{rot}\ \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
Ampère-Maxwell $$\int_\ell \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\left(\int_S \vec E \cdot \vec u dS \right)}{dt} + \mu_0 \int_S \vec j \cdot \vec u dS$$ $$\mathrm{rot}\ \vec B = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{dt} + \mu_0 \vec j$$

A tabela a seguir dá informações sobre parâmetros e alguns operadores das relações acima.

$\vec B$ vetor campo magnético
div divergência (operador vetorial)
$\vec E$ vetor campo elétrico
ε0 constante de permissividade elétrica do vácuo
i corrente elétrica
$\vec j$ vetor fluxo de corrente elétrica (corrente elétrica por área)
caminho (linha) fechado
μ0 constante de permeabilidade magnética do vácuo
q carga elétrica
rot rotacional (operador vetorial)
ρe densidade de carga elétrica (carga elétrica por volume)
S superfície fechada
$\vec u$ vetor unitário, perpendicular à superfície infinitesimal dS
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018