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Eletromagnetismo 5-V

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Tópicos: Lei da Indução de Faraday | Lei da Indução de Faraday na Forma Diferencial |

As formas genéricas para as equações do eletromagnetismo vistas nas páginas anteriores são válidas para campos estacionários. Nesta página e nas próximas, elas são estendidas para campos variáveis com o tempo.


1) Lei da Indução de Faraday

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A formulação simplificada para a força eletromotriz induzida em uma espira por um campo magnético variável é dada por:

$$V_e = - \frac{d\Phi_B}{dt} \tag{1A}$$
Sejam as relações já vistas da diferença de potencial elétrico em um caminho, $V_a - V_b = \int_\ell \vec E \cdot d\vec \ell$, e da definição de fluxo de campo magnético, $\Phi_B = \int_S \vec B \cdot d\vec S$. Substituindo na anterior,

$$\int_\ell \vec E \cdot d\vec \ell = - \frac{d\left(\int_S \vec B \cdot d\vec S\right)}{dt} \tag{1B}$$
Ou, conforme páginas anteriores, pode-se usar o conceito de vetor unitário $\vec u$:

$$\int_\ell \vec E \cdot d\vec \ell = - \frac{d\left(\int_S \vec B \cdot \vec u dS\right)}{dt} \tag{1C}$$

2) Lei da Indução de Faraday na Forma Diferencial

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Seja, conforme Figura 2-I, um caminho retangular elementar 1234 no plano xy, tal que os comprimentos dos lados sejam dx e dy e a área infinitesimal envolvida dS = dx dy.

Na expressão esquerda de (1B) ou (1C)do tópico anterior, a integral pode ser subdividida:

$$\int_{1234} \vec E \cdot d\vec \ell = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \quad \text{onde}\\ a_1 = \int_{12} \vec E \cdot d\vec \ell\\ a_2 = \int_{23} \vec E \cdot d\vec \ell \\ a_3 = \int_{34} \vec E \cdot d\vec \ell \\ a_4 = \int_{41} \vec E \cdot d\vec \ell \tag{2A}$$

Supõe-se que os lados 23 e 41 estão sob ação dos vetores de campo elétrico $\vec E_1$ e $\vec E_2$ respectivamente. Nesses lados, o produto escalar $\vec E \cdot d\vec \ell$ é igual ao produto do componente vertical (y) de E por dℓ, que é igual a +dy para 23 e −dy para 41. Assim, com a divisão / multiplicação por dx na última relação,

a2 + a4 = E2y dy − E1y dy = (E2y − E1y) dy = dEy dy = (∂Ey/∂x) dx dy

Lei da Indução de Faraday na Forma Diferencial
Fig 2-I

De forma similar, considerando por exemplo campos E2' e E1' (não indicados na figura) para os lados 34 e 12, chega-se ao resultado:

a1 + a3 = − (∂Ex/∂y) dx dy. Somando as parcelas e simplificando, tem-se a integral anterior:

$$\int_{1234} \vec E \cdot d\vec \ell = \left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac {\partial E_x}{\partial y} \right) dx dy \tag{2B}$$

Considerando que dS = dx dy, a integral no lado direito da igualdade (1C) do tópico anterior pode ser dada por:

$$\int_S \vec B \cdot \vec u dS = B_z dx dy \tag{2C}$$
Substituindo (2B) e (2C) em (1C) e simplificando,

$$\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac {\partial E_x}{\partial y} = - \frac {\partial B_z}{\partial t} \tag{2D}$$
Considerando o retângulo 1234 nos planos xz e yx, chega-se a resultados similares:

$$\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac {\partial E_y}{\partial z} = - \frac {\partial B_x}{\partial t} \tag{2E}$$
$$\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac {\partial E_z}{\partial x} = - \frac {\partial B_y}{\partial t} \tag{2F}$$
As igualdades (2D), (2E) e (2F) podem ser somadas, resultando em uma expressão mais compacta que a forma integral:

$$\mathrm{rot}\ \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} \tag{2G}$$
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018