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Eletromagnetismo 5-IV

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Tópicos: Lei de Gauss para o Magnetismo | Tabela-resumo das Leis |


1) Lei de Gauss para o Magnetismo

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O fluxo de campo magnético em uma superfície S é dado pela relação já vista em páginas anteriores:

$$\Phi_B = \int_S \vec B \cdot d\vec S \tag{1A}$$
Onde $\vec B$ é o vetor campo magnético atuante em cada porção elementar da superfície (dS) e o vetor $d\vec S$ é um vetor de módulo dS perpendicular à essa superfície infinitesimal. Esse produto escalar pode ser dado com o uso do vetor unitário u, perpendicular a dS:

$$\Phi_B = \int_S \vec B \cdot \vec u dS \tag{1B}$$
O conceito é semelhante ao do fluxo de campo elétrico, mas há uma diferença básica: se S é uma superfície fechada, ocorre sempre:

$$\Phi_B = \int_S \vec B \cdot \vec u dS = 0 \tag{1C}$$
O desenvolvimento da forma diferencial não é apresentado porque é similar ao do fluxo de campo elétrico visto em página anterior. O resultado é:

$$\mathrm{div}\ \vec B = 0 \tag{1D}$$
Significado físico: são consideradas superfícies fechadas para o campo elétrico e para o magnético. Conforme já visto, a divergência não nula do campo elétrico indica a existência de carga elétrica no interior da superfície, ou seja, fonte ou sumidouro de linhas de força na analogia com um fluido. No caso do campo magnético, a divergência é sempre nula, significando a impossibilidade da existência de polos magnéticos isolados.


2) Tabela-resumo das Leis

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Conforme já mencionado, as leis e formulações vistas até aqui se referem a campos estacionários, isto é, campos cujos valores em cada ponto não variam com o tempo. O espaço considerado é o vácuo. A tabela seguinte dá o resumo das principais igualdades.

Lei ou igualdade Forma integral Forma diferencial
Lei de Ampère p/ eletromagnetismo $$\int_\ell \vec B \cdot d\vec\ell = \mu_0 i$$ $$\mathrm{rot}\ \vec B = \mu_0 \vec j$$
Lei de Gauss $$\int_S \vec E \cdot \vec u dS = \frac{q}{\epsilon_0}$$ $$\mathrm{div}\ \vec E = \frac{\rho_e}{\epsilon_0}$$
Lei de Gauss para o magnetismo $$\int_S \vec B \cdot \vec u dS = 0$$ $$\mathrm{div}\ \vec B = 0$$
Potencial elétrico em caminho fechado $$\int_\ell \vec E \cdot d\vec\ell = 0$$ $$\mathrm{rot}\ \vec E = 0$$

A tabela a seguir dá informações sobre parâmetros e alguns operadores das relações acima.

$\vec B$ vetor campo magnético
div divergência (operador vetorial)
$\vec E$ vetor campo elétrico
ε0 constante de permissividade elétrica do vácuo
i corrente elétrica
$\vec j$ vetor fluxo de corrente elétrica (corrente elétrica por área)
caminho (linha) fechado
μ0 constante de permeabilidade magnética do vácuo
q carga elétrica
rot rotacional (operador vetorial)
ρe densidade de carga elétrica (carga elétrica por volume)
S superfície fechada
$\vec u$ vetor unitário, perpendicular à superfície infinitesimal dS
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018