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Eletromagnetismo 5-III

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Tópicos: Lei de Ampère na Forma Genérica | Lei de Ampère na Forma Diferencial |


1) Lei de Ampère na Forma Genérica

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A formulação simplificada da lei de Ampère para o eletromagnetismo estabelece uma relação entre a corrente elétrica em um condutor e o vetor do campo magnético induzido em um caminho fechado ℓ:

$$\int_\ell \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 i \tag{1A}$$
Entretanto, essa fórmula é válida para apenas um condutor. No caso de vários, conforme exemplo da Figura 1-I, a corrente i é a soma das correntes individuais.

Lei de Ampère na Forma Genérica
Fig 1-I

No caso mais genérico, considera-se i a integração dos fluxos de corrente conforme conceito dado em página anterior. Assim,

$$\int_\ell \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 \int_S \vec j \cdot \vec u dS \tag{1B}$$
Onde dS são superfícies cortadas por ℓ por onde circulam correntes elétricas e μ0, conforme visto na página citada, é a constante de permeabilidade magnética do meio considerado (vácuo).


2) Lei de Ampère na Forma Diferencial

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Seja, conforme Figura 2-I, um caminho retangular infinitesimal 1234 no plano xy tal que os lados têm comprimentos dx e dy. Desde que se trata de um retângulo, a integral de linha pode ser subdividida para cada lado:

$$\int_{1234} \vec B \cdot d\vec \ell = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \quad \text{onde}\\ a_1 = \int_{12} \vec B \cdot d\vec \ell\\ a_2 = \int_{23} \vec B \cdot d\vec \ell \\ a_3 = \int_{34} \vec B \cdot d\vec \ell \\ a_4 = \int_{41} \vec B \cdot d\vec \ell \tag{2A}$$

Consideram-se agora os lados 41 e 23, onde atuam os vetores de campo magnético B1 e B2 respectivamente. Em 23, dℓ = dy e, portanto, a2 = B2y dy. Em 41, dℓ = − dy e, portanto, a4 = − B1y dy. Somando as duas igualdades e dividindo / multiplicando o resultado por dx,

a2 + a4 = (B2y − B1y) dy = dBy dy = (∂By/∂x) dx dy

Aqui não é demonstrado nem está indicado na figura, mas, se adotado procedimento similar para os lados 12 e 34 (campos B'1 e B'2 atuando sobre eles), o resultado será:

a1 + a3 = − (∂Bx/∂y) dx dy

Portanto, a integração global pode ser dada por:

$$\int_{1234} \vec B \cdot d\vec \ell = \left( \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} \right) dxdy \tag{2B}$$

Lei de Ampère na Forma Diferencial
Fig 2-I

Para a corrente, deve-se considerar, conforme lei de Ampère, que essa integração é igual a μ0 di, uma vez que é suposto um caminho infinitesimal. E o produto escalar $\vec j \cdot \vec u$ é igual a jz. E a área dS é dx dy. Então, de acordo com a igualdade (1B) do tópico anterior, (∂By/∂x − ∂Bx/∂y) dx dy = μ0 jz dx dy. Simplificando,

$$\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 j_z \tag{2C}$$
Aplicando o mesmo raciocínio para caminhos retangulares nos planos yz e xz, chega-se a resultados similares:

$$\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 j_x \tag{2D}$$
$$\frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 j_y \tag{2E}$$
Se as três últimas igualdades são somadas, verifica-se que o lado esquerdo é o rotacional do campo vetorial $\vec B$ e o lado direito é o vetor $\vec j$ multiplicado pelo escalar μ0. Assim, a forma diferencial da Lei de Ampère para o eletromagnetismo é escrita como:

$$\mathrm{rot}\ \vec B = \mu_0\ \vec j \tag{2F}$$
Significado físico: ao contrário da divergência, o rotacional é um campo vetorial. Para cada ponto há um vetor que o define. Retornando à analogia com o movimento de uma massa de água, rotacional não nulo significa um redemoinho. Para o eletromagnetismo, significa que não pode haver campo magnético se não houver corrente elétrica. Para um campo elétrico, o rotacional é sempre nulo pois, conforme já visto, a integração ao longo de um caminho fechado é sempre nula.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018