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Eletromagnetismo 5-II

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Tópicos: Lei de Gauss na Forma Diferencial |


1) Lei de Gauss na Forma Diferencial

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Se uma superfície fechada S contém carga elétrica total q, então, segundo a lei de Gauss, $\epsilon_0 \Phi_E = q$. Onde ΦE é o fluxo de campo elétrico, que, por sua vez, é definido como $\Phi_E = \int_S \vec E \cdot d\vec S$. Ou seja, é a integração do produto escalar do vetor campo elétrico e do vetor superfície infinitesimal. Também pode ser usado um vetor unitário u: $\Phi_E = \int_S \vec E \cdot \vec u dS$. Combinando as igualdades anteriores e reagrupando,

$$\int_S \vec E \cdot d\vec S = \frac {q}{\epsilon_0} \tag{1A}$$
Para o desenvolvimento da forma diferencial, considera-se, conforme Figura 1-I, uma superfície fechada elementar em forma de paralelepípedo com arestas de comprimentos dx, dy e dz e, por simplicidade, paralelas aos eixos de coordenadas correspondentes. Sejam duas faces opostas dSx1 e dSx2 ao longo do eixo x. A área de ambas é dada por dy dz.

Em dSx1, o vetor campo elétrico é E1 e o componente perpendicular é Ex1 (= E1 cos α1). E de forma similar para a superfície dSx2. Desde que a superfície fechada considerada é elementar, é lícito supor que a diferença entre os componentes anteriores é a variação infinitesimal do campo elétrico ao longo do eixo x. Assim,

dEx = Ex2 − Ex1

O valor de dEx não se altera se dividido e multiplicado por dx. Assim, dEx = (∂Ex/∂x) dx. E o fluxo de campo elétrico na direção x será esse valor multiplicado pela área (dy dz):

ΦEx = dEx dy dz = (∂Ex/∂x) dx dy dz

Mas dx dy dz = dv (volume elementar). Portanto, o fluxo correspondente às duas superfícies em estudo é:

ΦEx = (∂Ex/∂x) dv

Resultados similares são obtidos para os dois pares restantes de faces (ΦEy e ΦEz) e o fluxo total é dado por:

Φe = (∂Ex/∂x) dv + (∂Ey/∂y) dv + (∂Ez/∂z) dv ou Φe = [ (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) ] dv. Mas, conforme Lei de Gauss, o fluxo deve ser igual a dq / ε0 (dq porque a superfície fechada considerada é elementar). Assim,

[ (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) ] dv = dq / ε0
Lei de Gauss na Forma Diferencial
Fig 1-I

Reagrupando essa igualdade, (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) = dq / (dv ε0). A relação dq/dv é a carga elétrica por unidade de volume, usualmente conhecida como densidade de carga e simbolizada por ρe:

$$\rho_e = \frac{dq}{dv} \tag{1B}$$
Portanto,

$$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho_e}{\epsilon_0} \tag{1C}$$

Dos conceitos de campos e operadores vetoriais, pode ser deduzido que o lado esquerdo dessa igualdade é a divergência do campo e a Lei de Gauss pode ser expressa na sua forma diferencial:

$$\mathrm{div}\ \vec E = \frac{\rho_e}{\epsilon_0} \tag{1D}$$
Significado físico: a divergência de um campo vetorial é uma função definida por um valor escalar em cada ponto. Considerando, por exemplo, um campo vetorial que representa o movimento de uma massa de água, um ponto de divergência não nula significa que água é adicionada ao sistema ou dele drenada (fonte ou sumidouro). No caso do campo elétrico, a divergência não nula indica uma densidade de carga elétrica no ponto considerado, ou seja, cargas elétricas são fontes ou drenos de linhas de força.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018