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Eletromagnetismo 4-III

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Tópicos: Efeito Doppler |


1) Efeito Doppler

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O nome é dado em homenagem ao seu descobridor, o físico austríaco C J Doppler.

Uma frente de onda pode ser entendida como o lugar geométrico de todos os pontos do meio físico que são alcançados pelo movimento ondulatório no mesmo intervalo de tempo. Seja um movimento ondulatório onidirecional e uniforme, produzido por uma fonte localizada no pequeno círculo interno conforme Figura 1-I (estão considerados movimentos em um plano, mas o conceito pode ser estendido para o espaço, com o uso de esferas em vez de círculos).

Se a fonte emissora está em repouso como em (a) da figura, as frentes de onda são círculos concêntricos e igualmente espaçados, se os incrementos dos intervalos de tempo são iguais. Se a fonte está em movimento, as frentes se deslocam e não são concêntricas, conforme (b) da mesma figura.

Desde que são considerados incrementos de tempo iguais entre as frentes, um observador em 2 registra um comprimento de onda menor (ou uma frequência maior) e o contrário para um observador em 1. No dia-a-dia, isso é comumente observado com ondas sonoras. Uma fonte móvel (a sirene de uma ambulância, um avião, etc) parece ter um som mais agudo quando se aproxima e mais grave quando se afasta.
Frentes de onda
Fig 1-I

Para a relação matemática, é usado o modelo da Figura 1-II, considerando, por simplicidade, que a fonte (F) e o observador (O) estão na mesma linha. A fonte se move com velocidade constante vF e o observador, vO.

Efeito Doppler
Fig 1-II

No instante inicial de tempo (t = 0), a fonte está em F1 e o observador, em O1 (a distância entre eles, F1O1, é x). Nesse instante, a fonte emite uma onda que alcança o observador depois de um tempo t. Assim, no tempo t, o observador se move vO t e a onda, x + vO t. Considerando v a velocidade de propagação da onda, ela percorre nesse tempo uma distância v t, que deve ser igual à distância percorrida pela onda conforme cálculo anterior, ou seja,

$$v t = x + v_O t \quad \text{ou}\\ t = \frac{x} {v - v_O} \tag{1A}$$
Depois de um tempo tF, a fonte está em F2 e, nesse instante, emite uma onda que alcança o observador depois de um tempo tO, medido em relação ao tempo inicial t = 0. E a distância que a onda percorre até atingir o observador é:

$$x - v_F t_F + v_O t_O \tag{1B}$$
Mas o tempo real do percurso da onda é tO − tF e, portanto, a distância é v (tO − tF), onde v é a velocidade de propagação da onda conforme já dito. Fazendo a igualdade dessa distância com (1B),

$$v (t_O - t_F) = x - v_F t_F + v_O t_O \quad\text{ou}\\t_O = \frac{x + (v − v_F) t_F}{v − v_O} \tag{1C}$$

Conforme premissas mencionadas, t é o tempo em que o observador registra a emissão em F1 e tO é o tempo em que registra a emissão em F2. Assim, considerando (1A) e (1C), o intervalo de tempo registrado entre as duas emissões é dado por:

$$\Delta t = t_O − t = \frac {v − v_F} {v − v_O} t_F \tag{1D}$$
No tempo tF, a fonte emite um número n de períodos dado por n = fF tF, onde fF é a frequência da fonte. E o observador recebe esse mesmo número no intervalo Δt. Assim, a frequência registrada por ele é:

$$f_O = \frac {f_F t_F} {\Delta t} \tag{1E}$$
Substituindo Δt pela igualdade de (1D),

$$f_O = \frac {v − v_O} {v − v_F} f_F \tag{1F}$$
Onde, recapitulando o significado das variáveis,

fO: frequência registrada pelo observador
fF: frequência da fonte emissora
vO: velocidade do observador
vF: velocidade da fonte emissora
v: velocidade de propagação da onda

O efeito Doppler tem importantes aplicações. Em Astronomia, para demonstrar o afastamento de estrelas ou galáxias, através do deslocamento de raias do espectro (universo em expansão). Radares de efeito Doppler são usados para medir velocidade de corpos móveis. Também em instrumentação com ultra-sons, etc.

Fonte mais rápida que onda
Fig 1-III

Embora não mencionado explicitamente, as considerações anteriores pressupõem que a velocidade de deslocamento da fonte é menor que a velocidade de propagação da onda. Caso contrário, isto é, a velocidade da fonte é maior que a de propagação, ela estará sempre adiante das frentes de onda, conforme Figura 1-III.

Aqui não é dado o desenvolvimento matemático. Pode-se demonstrar que o resultado é um cone de propagação conforme parte inferior da figura e que vale a relação $\sin \alpha = v / v_F$. Esse fenômeno é denominado onda de choque e, por exemplo, pode ser sentido na passagem de um avião supersônico. Também pode ser observado no rastro deixado na água por um barco veloz.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018