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Eletromagnetismo 4-II

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Tópicos: Ondas em uma Barra |


1) Ondas em uma Barra

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Seja uma barra cilíndrica, homogênea de um material elástico. Na Figura 1-I (a), uma seção genérica de comprimento dx está na posição indicada, antes da aplicação de forças longitudinais de tração, representadas por Fe e Fd, atuantes na seção. Em B da mesma figura, a tensão devido às forças desloca a seção para a posição indicada e ela tem a espessura aumentada para (dx + dℓ). Então, a deformação da seção devido à tração é:

$$e = \frac{\partial \ell}{\partial x} \tag{1A}$$
Desde que o material é supostamente elástico conforme a lei de Hooke, a tensão σ aplicada é proporcional à deformação, com o coeficiente de proporcionalidade dado pelo módulo de elasticidade (E) do material:

$$\sigma = E\ e \tag{1B}$$
Considerando a situação estática, as forças que atuam em ambos os lados são iguais:

$$F_d = F_e = F \tag{1C}$$
Desde que a tensão é a relação entre a força e a área S da seção transversal da barra, $\sigma = F / S$, pode-se combinar com as igualdades anteriores:

$$F = E S \frac{\partial \ell}{\partial x} \tag{1D}$$
Derivando em relação a x,

$$\frac{dF}{dx} = E S \frac{\partial^2 \ell}{\partial x^2} \tag{1E}$$
Ondas em uma Barra
Fig 1-I

Supõe-se agora que a barra recebe um golpe longitudinal em uma extremidade. A prática mostra que uma onda de choque percorre a barra. Nesse caso, as forças que atuam sobre cada seção infinitesimal não mais são idênticas. Assim, deve-se considerar a variação infinitesimal de força dF, que pode ser escrita como:

$$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx \tag{1F}$$
Considerando μ a massa específica do material, a massa da seção infinitesimal é dada por $dm = \mu dV = \mu S dx$. E a aceleração da seção é $a = \partial^2 \ell / \partial t^2$. Então, conforme lei de Newton, a força dF é igual ao produto da massa pela aceleração:

$$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx = dm\ a = \mu S dx \frac{\partial^2 \ell}{\partial t^2} \tag{1G}$$

Substituindo o termo comum pela igualdade de (1E) e simplificando, chega-se ao resultado:

$$\frac{\partial^2 \ell}{\partial t^2} = \frac{E}{\mu} \frac{\partial^2 \ell}{\partial x^2} \tag{1H}$$
Essa é a forma diferencial da equação de uma onda conforme visto em página anterior. Portanto, a velocidade de propagação é dada por:

$$v = \frac{E}{\mu} \tag{1I}$$
Onde E = módulo de elasticidade do material e μ = massa específica do material. Isso significa que ela só depende das propriedades do material. Não depende das dimensões físicas da barra.

Este é um exemplo simples de onda unidimensional em meio físico. Na prática, as ondas podem ter duas ou três dimensões, como ondas na superfície de um líquido e ondas sonoras.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018