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Eletromagnetismo 4-I

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Tópicos: Equação de uma Onda | Onda Senoidal |


1) Equação de uma Onda

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Pode-se definir onda como uma variação de uma grandeza física que se propaga através de algum meio. Seja f(x) uma função que representa a variação dessa grandeza na forma genérica da primeira curva (próxima do eixo vertical) da Figura 1-I.

Uma função g, que represente o deslocamento de f(x), deve, por exemplo, ter o mesmo valor f(x) quando x for igual a (x + d), ou seja deve ser igual a f(x − d). Se x for igual a (x + 2d), deve ter o valor f(x − 2d).


Fig 1-I

Portanto, para representar a onda, a função pode ter a forma:

$$g(x, t) = f(x \pm v t) \tag{1A}$$
Onde: t é tempo e v é velocidade. Se o sinal é negativo, ela se propaga na direção indicada pela seta e, se é positivo, a propagação se dá na direção oposta. É possível demonstrar que a forma diferencial da função g é dada por:

$$\frac{\partial^2 g}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \tag{1B}$$

2) Onda Senoidal

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Considerando, por simplicidade, a propagação em apenas uma direção, uma onda senoidal pode ser expressa por:

$$g(x, t) = A \sin k (x - v t) \tag{2A}$$
Adicionando 2 π / k ao valor de x, g(x + 2 π / k, t) = A sin k (x + 2 π / k − v t) = A sin [ k(x − vt) + 2π ] = A sin k (x − v t), que é a equação anterior. Portanto,

$$g(x + \tfrac{2\pi}{k}, t) = g(x, t) \tag{2B}$$
Isso significa que 2 π/k é o intervalo no espaço para o qual os valores se repetem, ou seja, é o comprimento da onda, que tradicionalmente é simbolizado pela letra grega lambda minúsculo:

$$\lambda = \frac{2\pi}{k} \tag{2C}$$
E a equação anterior pode ser escrita na forma:

$$g(x, t) = A \sin \frac{2\pi}{\lambda} (x - v t) \tag{2D}$$
kkkk
Fig 2-I

Da relação (2A), g(x, t) = A sin (k x − k v t). No movimento senoidal, o coeficiente da variável tempo é a velocidade angular ω. Assim,

$$\omega = k v = \frac{2\pi}{\lambda} v \tag{2E}$$
E a velocidade angular é dada por 2 π f, onde f é a frequência. Fazendo a igualdade, 2 π f = k v = (2 π / λ) v. Simplificando,

$$v = \lambda f \tag{2F}$$
Ou seja, a velocidade de propagação de uma onda senoidal é igual ao produto do seu comprimento de onda pela sua frequência.

Outras formas da função da onda senoidal são dedutíveis com as igualdades anteriores:

$$g(x, t) = \begin{cases} A \sin (k x - \omega t)\\ A \sin 2 \pi (x / \lambda − f t)\\ A \sin 2 \pi (x / \lambda − t / P) \end{cases} \tag{2G}$$
Onde P é o período:

$$P = \frac{1}{f} \tag{2H}$$
Aqui não é demonstrado, mas não é difícil deduzir que uma outra forma da equação genérica de uma onda é g(x, t) = F(t ± x / v), que, para uma onda senoidal, torna-se:

$$g(x, t) = A \sin (\omega t \pm k x) \tag{2I}$$
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018