Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Eletromagnetismo 2-III

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Bobina Toroidal | Materiais Magnéticos e Conceito de Intensidade de Campo Magnético |


1) Bobina Toroidal

(Topo | Fim pág)

Uma bobina toroidal tem espiras enroladas em torno de um anel circular fechado conforme Figura 1-I. A parte de cor cinza é apenas a forma geométrica do anel, não significando núcleo de nenhum material, ou seja, só existe o enrolamento. Se, ao contrário da ideia da figura, as espiras são bastante próximas entre si e uniformemente distribuídas, e a espessura do anel é pequena em relação ao raio, não haverá campo magnético externo e as linhas de indução serão circulares e concêntricas no interior do anel. Sejam as grandezas:

R: raio médio do anel
i: corrente que circula na bobina
N: número de espiras

Bobina Toroidal
Fig 1-I

Segundo a lei de Ampère, $\int \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 i$. A simetria do arranjo sugere que o módulo da indução magnética é constante ao longo de uma circunferência interna. Portanto, B 2 π R = µ0 N i (deve ser usado N i e não i porque a corrente total ao logo do caminho de integração é a corrente em cada espira multiplicada pelo número de espiras). Assim,

$$B = \frac{\mu_0 i N} {2 \pi R} \tag{1A}$$
Há uma clara semelhança com a fórmula para o solenoide ideal vista em páginas anteriores, B = μ0 i N / ℓ, onde ℓ é o comprimento. Entretanto, neste último, a indução magnética B é constante e, na bobina toroidal, ela é dependente da posição dada pelo raio R.


2) Materiais Magnéticos e Conceito de Intensidade de Campo Magnético

(Topo | Fim pág)

Da eletricidade pode ser visto que a capacitância de um capacitor de placas no vácuo aumenta se um material com propriedades dielétricas for inserido entre elas. No magnetismo ocorre algo parecido, isto é, alguns materiais têm propriedades magnéticas que podem alterar parâmetros relacionados. O ferro é o elemento magnético mais comum e de ampla utilização.

Seja, conforme (a) da Figura 2-I, uma bobina toroidal similar à do tópico anterior. De acordo com a hipótese a adotar, ela poderá ter núcleo de material magnético ou não ter núcleo. Uma corrente i que circula por uma espira (considerada de área S) produz, conforme já visto, um dipolo magnético cuja grandeza vetorial associada é o momento de dipolo magnético:

$$\vec \mu = i \vec S \tag{2A}$$
Também visto que um dipolo magnético de momento μ sob ação de uma indução magnética B sofre um momento mecânico (torque) dado por:

$$\vec \tau = \vec \mu \times \vec B \tag{2B}$$
Se o dipolo magnético pode girar de forma livre, conclui-se que ele deverá se alinhar com o campo magnético B. Pode-se então supor, de forma simplificada, que materiais em geral contêm dipolos magnéticos elementares e que, nos materiais magnéticos, esses dipolos se alinham na direção do campo magnético externo.

Considera-se agora que o núcleo da bobina toroidal da Figura 2-I (a) é de material magnético (ferro, por exemplo). A magnetização (M) de um determinado volume no espaço é definida como o momento de dipolo magnético por unidade desse volume.

A parte (b) da Figura 2-I representa uma fração infinitesimal de uma seção transversal dℓ com um momento de dipolo magnético dμ igual à soma dos dipolos elementares. Se S é a área transversal dessa seção, a magnetização será dada por:

$$\vec M = \frac{d\vec \mu}{dv} = \frac{d\vec \mu}{S d \ell} \tag{2C}$$
Se a bobina não tem núcleo, o campo magnético comporta-se segundo a lei de Ampère:

$$\int \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 i \tag{2D}$$
A prática demonstra que o campo magnético aumenta com a introdução de um núcleo de material magnético. Para manter a lei de Ampère válida na presença deste último, considera-se uma hipotética corrente de magnetização (im), isto é, a corrente equivalente ao aumento de corrente na espira que produz o mesmo efeito do núcleo. Reformula-se então a lei de Ampère:

$$\int \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 i + \mu_0 i_m \tag{2E}$$
Integrando ao longo da circunferência de raio R e considerando N o número de espiras,

$$B 2 \pi R = \mu_0 N i + \mu_0 N i_m \tag{2F}$$
Voltando à igualdade (2A), pode-se concluir que, para uma bobina de k espiras, o módulo do momento de dipolo magnético é μ = k i S. Se N é o número total de espiras da bobina toroidal considerada, o número de espiras da seção da Figura 2-I (b) é N dℓ / (2 π R). Substituindo pelo k da anterior,

$$d\mu = \frac{i_m S N d\ell} {2 \pi R} \tag{2G}$$
Nessa relação, é usada a corrente de magnetização im porque se supõe que o momento μ é produzido pelos dipolos magnéticos elementares do núcleo.

Da igualdade (2C), dμ = M S dℓ. Portanto, M S dℓ = im S N dℓ / (2 π R). Simplificando, N im = M 2 π R. Substituindo em (2F),

$$B 2 \pi R = \mu_0 N i + \mu_0 M 2 \pi R \tag{2H}$$
Materiais Magnéticos e Conceito de Intensidade de Campo Magnético
Fig 2-I

Se o termo B 2 π R de (2F) equivale à respectiva integral do produto escalar em (2E), pode-se, por analogia, supor algo similar para o termo M 2 π R de (2H) e reescrever (2E) na forma:

$$\int \vec B \cdot d\vec \ell = \mu_0 i + \mu_0 \int \vec M \cdot d\vec \ell \tag{2I}$$
Reagrupando,

$$\int \frac{\vec B - \mu_0 \vec M}{\mu_0} \cdot d\vec \ell = i \tag{2J}$$
Assim, a lei de Ampère para uma corrente i em um meio de material magnético é dada por:

$$\int \vec H \cdot d \vec \ell = i \quad \text{onde}\\ \vec H = \frac{\vec B - \mu_0 \vec M}{\mu_0} \tag{2K}$$
A grandeza H é denominada intensidade de campo magnético. Nota-se que, nessa relação, i é a corrente que circula pelo intervalo dℓ e não contém a corrente de magnetização anterior. Essa afirmação se torna mais evidente se a definição de H é rearranjada para:

$$\vec B = \mu_0 \vec H + \mu_0 \vec M \tag{2L}$$
Portanto, o campo magnético B é a soma das parcelas: $\mu_0 \vec H$ devida à ação da corrente i e $\mu_0 \vec M$ devida à magnetização do núcleo. Se não há núcleo, essa parcela é nula e $\vec B = \mu_0 \vec H$. No Sistema Internacional, a unidade de H é o ampère por metro (A/m).

Em várias situações práticas, é possível considerar uma proporcionalidade entre B e H na forma:

$$B = K_m \mu_0 H \tag{2M}$$
Km é denominado permeabilidade magnética relativa do meio (adimensional porque M e H são a mesma grandeza física). Substituindo em (2L),

$$M = (K_m − 1) H \tag{2N}$$
Para o vácuo, desde que não há dipolos magnéticos, M = 0 e, portanto, $K_m = 1$

A permeabilidade magnética absoluta do meio é um valor μm tal que:

$$\mu_m = K_m \mu_0 \tag{2O}$$
Onde μ0 = 4 π 10−7 Wb / (A m) é a permeabilidade magnética do vácuo. Substituindo em (2M):

$$B = \mu_m H \tag{2P}$$
A suscetibilidade magnética do meio é dada por:

$$X_m = K_m − 1 \tag{2Q}$$
É, portanto, nula para o vácuo.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018