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Eletromagnetismo 2-II

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Tópicos: Espira Girante | Indutância | Energia de um Indutor e de um Campo Magnético |


1) Espira Girante

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Seja uma espira de área S que gira com velocidade angular constante ω em um espaço sob ação de um campo magnético uniforme B (Figura 1-I). De acordo com relações básicas do movimento circular uniforme, tem-se o ângulo $\alpha = \omega t$, onde t é tempo contado a partir da mesma referência do ângulo. Calculando o fluxo de campo magnético através da espira,

$$\Phi_B = B S \cos \alpha = B S \cos \omega t \tag{1A}$$
Então, a força eletromotriz induzida é:

$$V_e = - \frac{d\Phi_B}{dt} = \omega B S \sin \omega t \tag{1B}$$
Essa relação indica que a tensão induzida é senoidal com amplitude igual a ω B S. E a frequência é dada por $f = \omega / (2 \pi)$, de acordo com relações básicas dos movimentos periódicos.

Espira Girante
Fig 1-I

Esse arranjo é o princípio básico dos geradores de corrente alternada (alternadores). Nota-se que a amplitude da tensão induzida é diretamente proporcional à velocidade angular (rotação) ω da espira.

Na posição da figura, o vetor momento magnético ($\vec μ = i \vec S$) tem a direção indicada, de forma que o torque da corrente induzida $\vec \tau = \vec \mu \times \vec B$ atua no sentido contrário ao da rotação ω, em conformidade com a conservação da energia ou da Lei de Lenz.


2) Indutância

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Em página anterior, foi visto que o campo magnético no interior de um solenóide ideal no vácuo é dado por:

$$B = \frac{\mu_0 N i}{\ell} \tag{2A}$$
B: campo ou indução magnética
μ0: constante de permeabilidade magnética do vácuo = 4 π 10−7 (Wb / A) m
N: número de espiras
i: corrente circulante
ℓ: comprimento do solenoide

Desde que o campo magnético no interior de um solenoide ideal é uniforme e considerando S a área da seção transversal, o fluxo é dado por:

$$\Phi_B = \int \vec B \cdot d\vec S = B S = \frac{\mu_0 N iS}{\ell} \tag{2B}$$
Solenoide Ideal
Fig 2-I

Se a corrente i varia, há uma força eletromotriz induzida calculada de acordo com a Lei de Faraday vista na página anterior, multiplicada pelo número de espiras da bobina: $V_e = - N d\Phi_B / dt$. Substituindo o valor do fluxo da igualdade anterior,

$$V_e = - \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell} \frac{di}{dt} \tag{2C}$$
Essa igualdade pode ser generalizada na forma abaixo, indicando a relação entre tensão e corrente circulante em um indutor qualquer:

$$V = - L \frac{di}{dt} \tag{2D}$$
O fator L é denominado indutância da bobina, que, no caso do solenoide ideal, é dada a partir de (2C):

$$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell} \tag{2E}$$
Dessa definição e de (2B), pode ser deduzida a fórmula da indutância de um solenoide em função do número de espiras N, da corrente i e do fluxo magnético ΦB:

$$L = \frac{N \Phi_B}{i} \tag{2F}$$
Comparação de alguns parâmetros: resistores, capacitores e indutores são elementos básicos de circuitos elétricos e eletrônicos. A tabela abaixo dá as relações fundamentais.

Resistor: V tensão, R resistência, i corrente $$V = R i \tag{2F}$$
Capacitor: q carga elétrica, C capacitância, V tensão $$q = C V \tag{2G}$$
Indutor: V tensão, L indutância, i corrente, t tempo $$V = - L \frac{di}{dt} \tag{2H}$$


3) Energia de um Indutor e de um Campo Magnético

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No circuito RL da Figura 3-I, a potência fornecida pela fonte deve ser igual à potência dissipada no resistor mais a potência dissipada no indutor. Em cada elemento, a potência é dada pelo produto da tensão pela corrente, ou seja, para a fonte Vi, para o resistor (ver tabela anterior) i R i = R i2, para o indutor (considerando valores absolutos) L i di / dt.

Circuito RL
Fig 3-I

Portanto, V i = R i2 + L i di / dt. A parcela R i2 é a energia por unidade de tempo dissipada no resistor devido ao aquecimento (efeito Joule). A parcela do indutor, L i di / dt, não pode ser aquecimento porque se supõe indutor ideal, de resistência nula. Assim, ela só pode ser a energia por unidade de tempo armazenada no campo magnético do indutor: P = dW / dt = L i di / dt. Simplificando, dW = L i di. Então, a energia armazenada no indutor é dada por:

$$W = \int L i di = \tfrac{1}{2} L i^2 \tag{3A}$$
Para um solenoide ideal, foi visto que a indutância é L = μ0 N2 S / A e o campo magnético é B = μ0 N i / L. Isolando i, tem-se i = B L / (μ0 N). E o volume físico é dado por S A. Usando esses valores para calcular a energia armazenada por volume, u = W / (S A), chega-se ao resultado:

$$u = \tfrac{1}{2} \frac{1}{\mu_0} B^2 \tag{3B}$$
As fórmulas anteriores guardam semelhança com as fórmulas vistas em páginas anteriores para capacitor e campo elétrico. Segue uma tabela comparativa.

Descrição Energia armazenada Energia por volume
Capacitor / Campo elétrico $(1/2) C V^2$ $(1/2) \epsilon_0 E^2$
Indutor / Campo magnético $(1/2) L i^2$ $(1/2) (1/\mu_0) B^2$
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018