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Eletromagnetismo 1-VIII

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Tópicos: Forças entre dois Ímãs | Analogia com Capacitor Plano |


1) Forças entre dois Ímãs

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Em páginas anteriores foram vistas fórmulas para calcular, por exemplo, força de um campo magnético sobre carga elétrica em movimento, forças devido à ação magnética entre condutores elétricos. Em geral, o cálculo da força entre dois ímãs é complexo, pois depende das forma geométricas. Entretanto, nos casos mais simples, é possível deduzir uma fórmula a partir da analogia com cargas elétricas.

Segundo a lei de Coulomb, a força entre duas cargas elétricas puntiformes (Figura 1-I) é dada por:

(1A) F = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2
Onde ε0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo (meio considerado neste estudo).

Forças entre cargas elétricas
Fig 1-I

Esse modelo não pode ser, em princípio, aplicado ao magnetismo porque não há uma espécie de "carga magnética" isolada. Se um ímã for dividido em duas ou mais partes, cada parte será um novo ímã, com os dois polos distintos, de forma similar à da parte original. Mas os modelos de dipolos elétrico e magnético têm suas semelhanças.

Dos conceitos sobre eletricidade, pode ser visto que o momento de um dipolo elétrico (não é momento mecânico), conforme Figura 1-II (a), é dado por:

$$p = q \ell \tag{1B}$$
O campo elétrico E, no eixo e a uma distância x (>> ℓ) do dipolo, é:

(1C) E = 2 p 4 π ϵ 0 r 3
Dipolos elétrico e magnético
Fig 1-II

Para (b) da figura, o momento de dipolo magnético é definido por:

$$\mu = N i S \tag{1D}$$
Onde N é o número de espiras da bobina, i a corrente circulante e S a área da seção transversal.

A definição não é semelhante à do elétrico porque, conforme já dito, não há "cargas magnéticas". A grandeza é estabelecida em função de uma bobina percorrida por uma corrente elétrica que produz o campo magnético. Mas o campo magnético no eixo e a uma distância x (>> ℓ) é calculado de forma similar:

(1E) B = μ 0 2 μ 4 π r 3
A diferença de posições dos parâmetros ε0 e μ0 é comentada em página anterior. Para efeito de posicionamento apenas, pode-se dizer que μ0 "equivale" a 1/ε0 (não é igualdade matemática ou dimensional). Valores numéricos são:

• Constante de permissividade elétrica do vácuo ε0 ≈ 8,85 10−12 C2 / (N m2)
• Constante de permeabilidade magnética do vácuo μ0 = 4 π 10−7 Wb m / A

Também visto em página anterior que o campo magnético ao longo do eixo de um solenoide de comprimento finito (Figura 1-III) é:

(1F) B = μ 0 iN 2 cos β cos α
Para a extremidade direita (P'), β = 90º e, portanto, $\cos \beta = 0$. Também $\cos \alpha = -\ell / \sqrt{\ell^2 + R^2}$. Substituindo,

$$B = \frac{\mu_0 i N}{2 \sqrt{\ell^2+ R^2}} \tag{1G}$$
Campo magnético ao longo do eixo de um solenóide real
Fig 1-III

Substituindo i N por μ / S conforme (1D) e reagrupando,

$$\mu = (B S 2 \sqrt{\ell^2 + R^2} ) \Big/ \mu_0 \tag{1H}$$
Da definição de dipolo elétrico (p = q ℓ ), pode-se imaginar a analogia com uma "carga magnética virtual" g tal que:

$$\mu = g \ell \tag{1I}$$
Substituindo na anterior,

(1J) g = 2 BS 2 + R 2 1 / 2 μ 0
Consideram-se agora os dois dipolos elétricos de comprimento ℓ e distantes x um do outro conforme Figura 1-IV (a). Há duas atrações e duas repulsões entre cargas e, portanto, pode-se calcular a resultante pela soma dessas forças, de acordo com a igualdade (1A) (lei de Coulomb). O resultado, já reagrupado e simplificado, é:

(1K) F = 1 4 π ϵ 0 q 2 1 x 2 + 1 x + 2 2 2 x + 2

Dipolos elétrico e magnético
Fig 1-IV

Para dois ímãs cilíndricos de comprimento ℓ, raio R, área transversal S (= π R2) e distantes x entre si, a analogia é:

• (1/ε0) equivale a μ0
• q equivale a g da igualdade (1J)

Substituindo,

(1L) F = B 2 S 2 2 + R 2 π μ 0 2 1 x 2 + 1 x + 2 2 2 x + 2

Para ímãs de seção retangular, uma aproximação pode ser obtida com a hipótese de cilíndricos de mesma seção transversal.


2) Analogia com Capacitor Plano

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Seja um capacitor de placas planas e paralelas, com cargas +q e −q para cada e área S conforme Figura 2-I. Desde que as placas têm cargas opostas, há uma força F de atração entre elas (algum suporte, não indicado, na figura mantém a distância d entre placas). Isso significa, portanto, uma energia potencial igual ao produto da força pela distância Ep = F d. Esse valor deve ser igual à energia armazenada no capacitor.

Capacitor plano
Fig 2-I

Das relações de eletricidade, essa energia é W = C V2 / 2, onde C é a capacitância e V a tensão entre placas. Da definição de capacitância, C = q / V, chega-se a W = (q / V) V2 / 2 = q V / 2. Igualando com a anterior e reagrupando,

$$F = q \frac{V/d}{2} \tag{2A}$$
Segundo o conceito de potencial elétrico, V/d = E (campo elétrico). Obtém-se então a força entre placas em função da carga de cada placa e do campo elétrico entre elas:

$$F = \frac{qE}{2} \tag{2B}$$
O resultado seria equivocado se usada a definição de campo elétrico E = F/q ou F = q E. Isso é explicado pelo fato de o campo E ser efeito da ação de duas placas e não uma. Mas o que se deseja é a força em uma placa e, por isso, deve-se usar a metade do valor do campo (E/2).

Aplicando a lei de Gauss para uma placa do capacitor, $q = \epsilon_0 \Phi_E = \epsilon_0 E S$. Substituindo em (2B),

$$F = \frac{\epsilon_0 E^2 S}{2} \tag{2C}$$
Força de um ímã sobre uma superfície magnética
Fig 2-II

Na analogia com o campo magnético, ε0 é substituído por 1/μ0:

(2D) F = B 2 S 2 μ 0
Essa fórmula dá uma aproximação para a força que um ímã exerce sobre uma superfície de material magnético bem próxima de um polo conforme ilustração da Figura 2-II.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018