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Eletromagnetismo 1-VII

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Tópicos: Campo Magnético de um Solenoide |


1) Campo Magnético de um Solenoide

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Seja um solenoide de N espiras e comprimento ℓ. Aqui é adotado o símbolo n para o número de espiras por unidade de comprimento:

$$n = \frac{N}{\ell} \tag{1A}$$
Para um comprimento infinitesimal dx, o número de espiras é:

$$n\ dx \tag{1B}$$
Para uma espira, o campo no eixo a uma distância x do centro é dado pela fórmula já vista em página anterior:

$$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}} \tag{1C}$$
Então, para um ponto P, situado no eixo de um solenoide conforme Figura 1-I e a uma distância x do centro, o campo infinitesimal é dado pelo produto dessa relação pelo número de espiras conforme (1B):

$$dB = \frac{\mu_0 i R^2 n dx}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}} \tag{1D}$$
Considerando (1A),

$$dB = \frac{\mu_0 i R^2 N dx}{2 \ell (R^2 + x^2)^{3/2}} \tag{1E}$$
Reagrupando,

$$dB = \frac{\mu_0 i N / (2 \ell) }{(R^2 + x^2)^{3/2}} R^2 dx \tag{1F}$$
Campo Magnético de um Solenoide
Fig 1-I

Segundo relações trigonométricas,

$$\tan \phi = R / x\\x = R / \tan \phi\\x = R\ \mathrm{cot}\ \phi \tag{1G}$$
Diferenciando a última,

$$dx = - R\ \mathrm{cosec}^2 \phi d \phi \tag{1H}$$
Também da trigonometria,

$$\mathrm{cosec}\ \phi = \tfrac{1}{\sin \phi} = \tfrac{PA}{R}\\PA = R\ \mathrm{cosec}\ \phi \tag{1I}$$
Outra relação de triângulos:

$$PA^2 = R^2 + x^2 \tag{1J}$$
Combinando com (1I),

$$R^2 + x^2 = R^2\ \mathrm{cosec}^2\ \phi \tag{1K}$$
Substituindo (1H) e (1K) em (1F) e simplificando,

$$dB = \frac{\mu_0 i N}{2 \ell} (- \sin \phi\ d\phi) \tag{1L}$$
Então, o campo total é dado pela integração:

$$B = \frac{\mu_0 i N}{2 \ell} \int_\alpha^\beta(- \sin \phi\ d\phi) \tag{1M}$$
Resolvendo, chega-se à igualdade final:

$$B = \frac{\mu_0 i N}{2 \ell} (\cos \beta - \cos \alpha) \tag{1N}$$
Se o solenóide é grande e o ponto P está no centro: $\alpha \approx 180° \therefore \cos \alpha \approx -1$ e $\beta \approx 0 \therefore \cos \beta \approx 1$. Substituindo,

$$B = \frac{\mu_0 i N}{\ell} \tag{1O}$$
Essa é a fórmula dada em página anterior para a região central de um solenoide ideal no vácuo.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018