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Eletromagnetismo 1-V

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Tópicos: Campo Magnético de um Condutor Retilíneo | Campo Magnético de uma Espira Circular |


1) Campo Magnético de um Condutor Retilíneo

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Pode-se usar a lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético produzido por um condutor reto percorrido por uma corrente constante i, segundo fórmula já vista:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3} \tag{1A}$$
Nessa fórmula, o vetor infinitesimal $d\vec \ell$ corresponde ao $d\vec x$ da figura a seguir.

Campo magnético de um condutor retilíneo
Fig 1-I

Para um ponto P situado a uma distância R do fio,

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{d\vec{x} \times \vec{r}}{r^3} \tag{1B}$$
Trabalhando em módulos e considerando a definição de produto vetorial,

$$dB = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{dx r \sin \alpha}{r^3} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{dx \sin \alpha}{r^2} \tag{1C}$$

Conforme relações trigonométricas,

$$r^2 = x^2 + R^2\\ \sin \alpha = R \big/ \sqrt{x^2 + R^2} \tag{1D}$$
Substituindo na relação anterior,

$$dB = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{R dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \tag{1E}$$
Para o cálculo do valor de B, deve-se notar que o sentido do vetor $d\vec B$ é sempre na direção indicada na figura, independente do local do ponto A sobre a reta. Portanto, B é dado pela integração simples da relação acima, cujo resultado final é:

$$B = \int_{x=-\infty}^{x=+\infty} dB = \frac{\mu_0 i}{2 \pi R} \tag{1F}$$
Esse valor é idêntico ao já visto em página anterior para o campo ao longo de uma circunferência com centro em O da figura e raio R. Ou seja, a lei de Ampère para o eletromagnetismo é um caso particular da lei de Biot-Savart, conforme sugere a formulação de ambas.


2) Campo Magnético de uma Espira Circular

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Neste tópico deseja-se saber o valor do campo magnético em um ponto genérico P, situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante i. Esquema conforme Figura 2-I.

Considera-se a fórmula genérica (1A) do tópico anterior. Desde que $d\vec \ell$ e $\vec r$ são perpendiculares entre si, o módulo do produto vetorial é simplesmente $\ell r$. Então o módulo de $d\vec B$ é:

$$dB = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{d\ell}{r^2} \tag{2A}$$
Campo magnético de uma espira circular
Fig 2-I

E o componente axial é dado por:

$$dB_A = dB \cos \alpha = dB\ R / r= \frac{\mu_0 iR}{4 \pi} \frac{d\ell}{r^3} \tag{2B}$$

Na integração ao longo da espira, cada valor do componente radial dBR é anulado pelo seu oposto de 180°, ou seja, esses componentes não entram no cálculo de B. Assim, o resultado é dado pela integração da igualdade anterior:

$$B = \int dB_A = \frac{\mu_0 iR}{4 \pi} \frac{1}{r^3} \int d\ell\\B = \frac{\mu_0 iR}{4 \pi} \frac{1}{r^3} 2\pi R = \frac{\mu_0 i R^2}{2 r^3} \tag{2C}$$
Considerando que $r = (R^2 + x^2)^{1/2}$, a substituição resulta em:

$$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}} \tag{2D}$$
No conceito de dipolo magnético visto em página anterior, o módulo do vetor momento de dipolo magnético $\vec \mu$ é dado por $\mu = N i S$, onde N é o número de espiras e S a área transversal. Neste caso, N = 1 e S = π R2. Assim, μ = i π R2. E a fórmula anterior pode ser escrita em termos de momento magnético:

$$B = \frac{\mu_0 \mu}{2 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \tag{2E}$$
Onde $\mu = i \pi R^2$
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018