Eletromagnetismo 1-IV

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Eletromagnetismo 1-IV

1) Lei de Ampère para o Eletromagnetismo

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No vácuo, a relação entre o campo magnético $\vec B$ produzido por uma corrente i em um condutor é dada pela integração ao longo de um caminho:

$$\int \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 \ i \tag{1A}$$
$d\vec{\ell}$ = vetor do comprimento infinitesimal em uma linha de indução no ponto de atuação do campo magnético $\vec B$

$\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \mathrm{Wb/(A m)} =$ constante de permeabilidade magnética do vácuo

Exemplo - Condutor retilíneo

Neste caso, a simetria sugere que as linhas de indução são círculos concêntricos e o módulo do vetor $\vec B$ é constante ao longo de cada linha. Para uma linha de raio r conforme figura abaixo, a integração é igual ao módulo desse vetor multiplicado pelo comprimento da circunferência: $B 2 \pi r = \mu_0 i$. Portanto,

$$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} \tag{1B}$$

Fig 1-I

O sentido de $\vec B$ pode ser determinado com o uso da regra da mão direita conforme indicado na mesma figura.

Para o caso mais genérico de uma espira qualquer sob uma corrente i (Figura 1-II), a indução magnética em um determinado ponto pode ser calculada pela lei de Biot-Savart:

$$\vec{B} = \int \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3} \tag{1C}$$

Campo magnético produzido por uma espira condutora genérica

Fig 1-II

Essa formulação é mais adequada quando o formato do condutor não permite uma dedução simples conforme exemplo anterior.

2) Força entre Condutores Paralelos

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Na Figura 2-I, dois condutores paralelos, supostamente no vácuo, separados de uma distância d são percorridos pelas correntes i₁ e i₂. B₁ e B₂ são os campos magnéticos atuantes em um condutor devido à corrente do outro. Podem ser calculados segundo a fórmula (1B) do tópico anterior:

$$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d}\\ B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2 \pi d}$$

Fig 2-I

Em página anterior, foi dado que a força F devido a um campo B em um condutor com uma corrente i e um comprimento ℓ (vetor no mesmo sentido de i) é:

$$\vec F = i \vec \ell \cdot \vec B$$
Neste caso, com as correntes no mesmo sentido, pode ser deduzido que as forças são de atração. E, para um comprimento ℓ de condutores, as forças são:

$$F_1 = i_1 \ell B_2 = \frac{\mu_0 \ell i_1 i_2}{2 \pi d}\\ F_2 = i_2 \ell B_1 = \frac{\mu_0 \ell i_1 i_2}{2 \pi d}$$
Portanto,

$$F_1 = F_2 = \frac{\mu_0 \ell i_1 i_2}{2 \pi d} \tag{2A}$$
Esse resultado é usado para a definição de corrente elétrica no Sistema Internacional de unidades. Se d = 1 m, ℓ = 1 m e i₁ = i₂ = 1 A, o valor é:

$$F= \frac{4 \pi10^{-7} 1\ 1\ 1}{2 \pi 1} = 2\ 10^{-7} \text N$$
Ou seja, Ampère é a corrente que produz essa força por metro de comprimento entre dois condutores retilíneos e paralelos no vácuo e distantes 1 metro entre si.

3) Solenoide Ideal

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Em um solenoide típico, as linhas de indução têm geometria parecida com a Figura 3-I (a). Ocorre também alguma dispersão (não indicada na figura) devido ao espaço entre espiras. Se as espiras são compactas e o comprimento é grande, o solenoide pode ser considerado aproximadamente ideal e o campo magnético na região central é aproximadamente uniforme. O objetivo deste tópico é determinar esse campo em função da corrente i e de outros parâmetros.

Fig 3-I

No corte (b) da Figura 3-I, desde que, entre 1 e 2, B é supostamente uniforme,

$$a_1 = \int_1^2 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = B \ d$$
Em 2/3 e 4/1, B e dℓ são ortogonais. Portanto,

$$a_2 = \int_2^3 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = a_4 = \int_4^1 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = 0$$
Na parte externa, o campo é supostamente nulo por ser solenoide ideal:

$$a_3 = \int_3^4 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = 0$$
Para a aplicação da lei de Ampère conforme (1A) ao caminho fechado 1234, a corrente a considerar i_d deve ser a soma das correntes de cada espira nessa seção. Se i é a corrente aplicada aos terminais do solenoide, N o número de espiras e ℓ o comprimento total, deve-se ter:

$$i_d = i \frac{d}{\ell} N$$
Aplicando (1A) e considerando as igualdades anteriores,

$$\int \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = B \ d = \mu_0 i \frac{d}{\ell} N$$

Simplificando, obtém-se a fórmula para o campo B no centro de um solenoide ideal no vácuo:

$$B = \mu_0 \frac{i N}{\ell} \tag{3A}$$
Onde:
μ₀ permeabilidade magnética do vácuo = 4 π 10⁻⁷ Wb / (A m)
i corrente no solenoide
N número de espiras do solenoide
ℓ comprimento do solenoide

Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus. HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970. HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018