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Eletromagnetismo 1-IV

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Tópicos: Lei de Ampère para o Eletromagnetismo | Força entre Condutores Paralelos | Solenoide Ideal |

1) Lei de Ampère para o Eletromagnetismo

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No vácuo, a relação entre o campo magnético $\vec B$ produzido por uma corrente i em um condutor é dada pela integração ao longo de um caminho:

$$\int \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 \ i \tag{1A}$$
$d\vec{\ell}$ = vetor do comprimento infinitesimal em uma linha de indução no ponto de atuação do campo magnético $\vec B$

$\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \mathrm{Wb/(A m)} =$ constante de permeabilidade magnética do vácuo

Exemplo - Condutor retilíneo

Neste caso, a simetria sugere que as linhas de indução são círculos concêntricos e o módulo do vetor $\vec B$ é constante ao longo de cada linha. Para uma linha de raio r conforme figura abaixo, a integração é igual ao módulo desse vetor multiplicado pelo comprimento da circunferência: $B 2 \pi r = \mu_0 i$. Portanto,

$$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} \tag{1B}$$
Lei de Ampère
Fig 1-I

O sentido de $\vec B$ pode ser determinado com o uso da regra da mão direita conforme indicado na mesma figura.

Para o caso mais genérico de uma espira qualquer sob uma corrente i (Figura 1-II), a indução magnética em um determinado ponto pode ser calculada pela lei de Biot-Savart:

$$\vec{B} = \int \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3} \tag{1C}$$
Campo magnético produzido por uma espira condutora genérica
Fig 1-II

Essa formulação é mais adequada quando o formato do condutor não permite uma dedução simples conforme exemplo anterior.


2) Força entre Condutores Paralelos

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Na Figura 2-I, dois condutores paralelos, supostamente no vácuo, separados de uma distância d são percorridos pelas correntes i1 e i2. B1 e B2 são os campos magnéticos atuantes em um condutor devido à corrente do outro. Podem ser calculados segundo a fórmula (1B) do tópico anterior:

$$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d}\\ B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2 \pi d}$$
Força entre condutores paralelos
Fig 2-I

Em página anterior, foi dado que a força F devido a um campo B em um condutor com uma corrente i e um comprimento ℓ (vetor no mesmo sentido de i) é:

$$\vec F = i \vec \ell \cdot \vec B$$
Neste caso, com as correntes no mesmo sentido, pode ser deduzido que as forças são de atração. E, para um comprimento ℓ de condutores, as forças são:

$$F_1 = i_1 \ell B_2 = \frac{\mu_0 \ell i_1 i_2}{2 \pi d}\\ F_2 = i_2 \ell B_1 = \frac{\mu_0 \ell i_1 i_2}{2 \pi d}$$
Portanto,

$$F_1 = F_2 = \frac{\mu_0 \ell i_1 i_2}{2 \pi d} \tag{2A}$$
Esse resultado é usado para a definição de corrente elétrica no Sistema Internacional de unidades. Se d = 1 m, ℓ = 1 m e i1 = i2 = 1 A, o valor é:

$$F= \frac{4 \pi10^{-7} 1\ 1\ 1}{2 \pi 1} = 2\ 10^{-7} \text N$$
Ou seja, Ampère é a corrente que produz essa força por metro de comprimento entre dois condutores retilíneos e paralelos no vácuo e distantes 1 metro entre si.


3) Solenoide Ideal

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Em um solenoide típico, as linhas de indução têm geometria parecida com a Figura 3-I (a). Ocorre também alguma dispersão (não indicada na figura) devido ao espaço entre espiras. Se as espiras são compactas e o comprimento é grande, o solenoide pode ser considerado aproximadamente ideal e o campo magnético na região central é aproximadamente uniforme. O objetivo deste tópico é determinar esse campo em função da corrente i e de outros parâmetros.

Solenoide
Fig 3-I

No corte (b) da Figura 3-I, desde que, entre 1 e 2, B é supostamente uniforme,

$$a_1 = \int_1^2 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = B \ d$$
Em 2/3 e 4/1, B e dℓ são ortogonais. Portanto,

$$a_2 = \int_2^3 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = a_4 = \int_4^1 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = 0$$
Na parte externa, o campo é supostamente nulo por ser solenoide ideal:

$$a_3 = \int_3^4 \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = 0$$
Para a aplicação da lei de Ampère conforme (1A) ao caminho fechado 1234, a corrente a considerar id deve ser a soma das correntes de cada espira nessa seção. Se i é a corrente aplicada aos terminais do solenoide, N o número de espiras e ℓ o comprimento total, deve-se ter:

$$i_d = i \frac{d}{\ell} N$$
Aplicando (1A) e considerando as igualdades anteriores,

$$\int \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = B \ d = \mu_0 i \frac{d}{\ell} N$$

Simplificando, obtém-se a fórmula para o campo B no centro de um solenoide ideal no vácuo:

$$B = \mu_0 \frac{i N}{\ell} \tag{3A}$$
Onde:
μ0 permeabilidade magnética do vácuo = 4 π 10−7 Wb / (A m)
i  corrente no solenoide
N  número de espiras do solenoide
ℓ  comprimento do solenoide
Referências
Alonso, Marcelo. Finn, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018