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Eletromagnetismo 1-III

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Tópicos: Ação sobre uma Corrente Elétrica | Ação sobre uma Espira | Momento Magnético |

1) Ação sobre uma Corrente Elétrica

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A relação entre a força $\vec F$, resultante da ação de um campo magnético $\vec B$ sobre uma carga elétrica q com velocidade $\vec v$, é dada por:

$$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} \tag{1A}$$
Seja, conforme figura a seguir, um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i e sob ação de um campo magnético constante.

Ação Magnética sobre uma Corrente Elétrica
Fig 1-I

O vetor $\vec \ell$ representa o condutor, ou seja, tem o seu comprimento e sentido igual ao da corrente percorrida. Para um comprimento infinitesimal, a força é $d\vec F = dq\ \vec v \times \vec B$. Mas a velocidade é $\vec v = d\vec \ell / dt$. Substituindo e reagrupando,

$$d\vec F = \frac{dq}{dt} d\vec \ell \times \vec B$$
Mas dq/dt é a própria definição da corrente elétrica i. Com a integração para o comprimento total, chega-se a:

$$\vec{F} = i \vec{\ell} \times \vec{B} \tag{1B}$$

2) Ação sobre uma Espira

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Na figura a seguir, os lados de uma espira condutora retangular são indicados pelos vetores $\vec \ell_{1\ a\ 4}$, que têm o mesmo sentido da corrente circulante i. A espira pode girar em torno do eixo z e está sob ação de um campo magnético uniforme na direção indicada.

Ação magnética sobre uma espira
Fig 2-I

Segundo (1B) do tópico anterior, a força atuante em um lado k é dada por $\vec{F}_k = i \vec{\ell}_k \times \vec{B}$. Observando que F2 e F4 são opostas de mesmo alinhamento, a contribuição delas é nula. F1 e F3 são opostas, mas não têm o mesmo alinhamento. Assim, há um conjugado dado, em módulo, por $\tau = F_1 \ell_2 \cos \alpha$. Mas $F_1 = i \ell_1 B$. Substituindo, $\tau = i \ell_1 \ell_2 \cos \alpha\ B$. Mas $\ell_1 \ell_2 = S$ (área da espira). Com a substituição da área, chega-se ao resultado:

$$\tau = i \ S \ B \ \cos \alpha \tag{2A}$$
Pode-se demonstrar que a fórmula acima é válida para qualquer formato de espira plana, além do retangular. Essa relação é o princípio básico do funcionamento de máquinas elétricas como motores e de instrumentos como galvanômetros. Para o caso genérico de uma bobina de N espiras, o torque é multiplicado por esse valor:

$$\tau = N \ i \ S \ B \ \cos \alpha \tag{2B}$$

3) Momento Magnético

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Considerando a equação do torque do tópico anterior, pode-se concluir que, partindo de uma posição qualquer, a espira gira até a posição de torque nulo, isto é, α = 90°. Nessa condição, o vetor do campo magnético está alinhado com a reta normal à superfície da espira, de forma similar à agulha de uma bússola, que se alinha na direção do campo magnético da Terra.

Dipolo Magnético
Fig 3-I

A relação (2A) do tópico anterior pode ser escrita: $\tau = i \ S \ B \ \sin \beta$, onde $\beta = 90 - \alpha$ é o ângulo da normal à superfície da espira com o vetor $\vec B$. Essa relação sugere um produto vetorial e, portanto, o vetor conjugado pode ser dado por:

$$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B} \tag{3A}$$
A grandeza vetorial $\vec \mu$ é denominada momento magnético do dipolo e, assim, o torque (momento mecânico) é igual ao produto vetorial dela pelo vetor campo magnético. Do desenvolvimento anterior, deduz-se que o momento magnético do dipolo, para o caso genérico de N espiras, é definido por:

$$\vec{\mu} = N \ i \ \vec{S} \tag{3B}$$
$\vec \mu$ momento magnético do dipolo
N número de espiras da bobina
i corrente circulante na bobina
$\vec S$ vetor de superfície

O sentido do vetor $\vec \mu$ pode ser deduzido pela regra da mão direita, considerando o sentido da corrente circulante. Se feita a integração do torque $\vec \tau$ ao longo de um deslocamento angular (operação aqui não demonstrada), chega-se ao resultado (produto escalar):

$$U = \vec{\mu} \cdot \vec{B} \tag{3C}$$
Na relação acima, U é a energia potencial do dipolo, isto é, o trabalho que seria necessário para girá-lo da posição de conjugado nulo até o ângulo do vetor $\vec \mu$.

Das igualdades anteriores, conclui-se que a unidade de momento magnético no Sistema Internacional é ampère metro quadrado (A m2) ou joule por tesla (J/T).
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018