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Eletromagnetismo 1-III

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Tópicos: Ação sobre uma Corrente Elétrica | Ação sobre uma Espira | Momento Magnético |

1) Ação sobre uma Corrente Elétrica

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A relação entre a força $\vec F$, resultante da ação de um campo magnético $\vec B$ sobre uma carga elétrica q com velocidade $\vec v$, é dada por:

$$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} \tag{1A}$$
Seja, conforme figura a seguir, um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i e sob ação de um campo magnético constante.

Ação Magnética sobre uma Corrente Elétrica
Fig 1-I

O vetor $\vec \ell$ representa o condutor, ou seja, tem o seu comprimento e sentido igual ao da corrente percorrida. Para um comprimento infinitesimal, a força é $d\vec F = dq\ \vec v \times \vec B$. Mas a velocidade é $\vec v = d\vec \ell / dt$. Substituindo e reagrupando,

$$d\vec F = \frac{dq}{dt} d\vec \ell \times \vec B$$
Mas dq/dt é a própria definição da corrente elétrica i. Com a integração para o comprimento total, chega-se a:

$$\vec{F} = i \vec{\ell} \times \vec{B} \tag{1B}$$

2) Ação sobre uma Espira

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Na figura a seguir, os lados de uma espira condutora retangular são indicados pelos vetores $\vec \ell_{1\ a\ 4}$, que têm o mesmo sentido da corrente circulante i. A espira pode girar em torno do eixo z e está sob ação de um campo magnético uniforme na direção indicada.

Ação magnética sobre uma espira
Fig 2-I

Segundo (1B) do tópico anterior, a força atuante em um lado k é dada por $\vec{F}_k = i \vec{\ell}_k \times \vec{B}$. Observando que F2 e F4 são opostas de mesmo alinhamento, a contribuição delas é nula. F1 e F3 são opostas, mas não têm o mesmo alinhamento. Assim, há um conjugado dado, em módulo, por $\tau = F_1 \ell_2 \cos \alpha$. Mas $F_1 = i \ell_1 B$. Substituindo, $\tau = i \ell_1 \ell_2 \cos \alpha\ B$. Mas $\ell_1 \ell_2 = S$ (área da espira). Com a substituição da área, chega-se ao resultado:

$$\tau = i \ S \ B \ \cos \alpha \tag{2A}$$
Pode-se demonstrar que a fórmula acima é válida para qualquer formato de espira plana, além do retangular. Essa relação é o princípio básico do funcionamento de máquinas elétricas como motores e de instrumentos como galvanômetros. Para o caso genérico de uma bobina de N espiras, o torque é multiplicado por esse valor:

$$\tau = N \ i \ S \ B \ \cos \alpha \tag{2B}$$

3) Momento Magnético

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Considerando a equação do torque do tópico anterior, pode-se concluir que, partindo de uma posição qualquer, a espira gira até a posição de torque nulo, isto é, α = 90°. Nessa condição, o vetor do campo magnético está alinhado com a reta normal à superfície da espira, de forma similar à agulha de uma bússola, que se alinha na direção do campo magnético da Terra.

Dipolo Magnético
Fig 3-I

A relação (2A) do tópico anterior pode ser escrita: $\tau = i \ S \ B \ \sin \beta$, onde $\beta = 90 - \alpha$ é o ângulo da normal à superfície da espira com o vetor $\vec B$. Essa relação sugere um produto vetorial e, portanto, o vetor conjugado pode ser dado por:

$$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B} \tag{3A}$$
A grandeza vetorial $\vec \mu$ é denominada momento magnético do dipolo e, assim, o torque (momento mecânico) é igual ao produto vetorial dela pelo vetor campo magnético. Do desenvolvimento anterior, deduz-se que o momento magnético do dipolo, para o caso genérico de N espiras, é definido por:

$$\vec{\mu} = N \ i \ \vec{S} \tag{3B}$$
$\vec \mu$ momento magnético do dipolo
N número de espiras da bobina
i corrente circulante na bobina
$\vec S$ vetor de superfície

O sentido do vetor $\vec \mu$ pode ser deduzido pela regra da mão direita, considerando o sentido da corrente circulante. Se feita a integração do torque $\vec \tau$ ao longo de um deslocamento angular (operação aqui não demonstrada), chega-se ao resultado (produto escalar):

$$U = \vec{\mu} \cdot \vec{B} \tag{3C}$$
Na relação acima, U é a energia potencial do dipolo, isto é, o trabalho que seria necessário para girá-lo da posição de conjugado nulo até o ângulo do vetor $\vec \mu$.

Das igualdades anteriores, conclui-se que a unidade de momento magnético no Sistema Internacional é ampère metro quadrado (A m2) ou joule por tesla (J/T).
Referências
Alonso, Marcelo. Finn, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018