Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Efeitos Fotoelétrico e Compton

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Efeito Fotoelétrico | Efeito Compton | Exemplo | Efeito Compton (continuação) |

1) Efeito Fotoelétrico

(Topo | Fim pág)

Um feixe de luz que incide sobre uma superfície metálica pode, sob certas condições, liberar elétrons do metal e, assim, estabelecer uma corrente elétrica entre dois elementos fisicamente separados e no vácuo. Os estudos desse fenômeno comprovaram a teoria quântica de Planck e demonstraram que a luz (ou qualquer outra radiação eletromagnética) pode ser considerada onda e também partícula. Seja o conjunto conforme figura a seguir.

Conjunto para Estudo do Efeito Fotoelétrico
Fig 1-I

Os eletrodos A e B estão em uma ampola sob vácuo e, sobre A, incide uma radiação luminosa monocromática que pode liberar elétrons desse eletrodo. Uma tensão contínua ajustável V é aplicada aos eletrodos e a corrente no circuito é medida pelo amperímetro G.

O gráfico da próxima figura, curva 1, indica a variação da corrente i do circuito em função do potencial V aplicado: acima de um certo valor, a curva tende para horizontal, isto é, a corrente não varia com o potencial. Abaixo desse valor, a corrente cai com a tensão.

Curvas do Efeito Fotoelétrico para Diferentes Intensidades de Radiação
Fig 1-II

Quando o potencial V se torna negativo, o campo elétrico entre os eletrodos se opõe ao movimento dos elétrons de A para B. Entretanto, a corrente não se anula de imediato, só ocorrendo no potencial V0. Portanto, a maior energia cinética de um elétron liberado pelo efeito fotoelétrico é dada por:

$$E_c = e \ V_0 \tag{1A}$$
Onde:

e = carga elétrica do elétron

A curva 2 refere-se ao mesmo experimento, mas com uma intensidade de radiação menor que 1, demonstrando que V0 não depende da intensidade da radiação. Entretanto, V0 varia com a frequência. A figura a seguir indica essa variação.

Variação do Potencial Mínimo com a Frequência
Fig 1-III

Observa-se que existe uma frequência de corte f0 abaixo da qual não há efeito fotoelétrico. Mas, conforme teoria ondulatória da luz, V0 deveria variar com a intensidade e não poderia haver uma frequência de corte. Essas contradições fizeram Albert Einstein propor um novo modelo: a luz, ao se propagar pelo espaço, comporta-se como partículas, denominadas fótons, cuja energia é dada por:

$$E = h \ f \tag{1B}$$
h = constante de Planck
f = frequência

E, no efeito fotoelétrico, ocorrem as parcelas:

$$E = h \ f = E_0 + e V_0 \tag{1C}$$
• A parcela $E_0$ da energia do fóton é usada para remover o elétron.

• A parcela $e V_0$ da energia do fóton é a energia cinética cedida ao elétron.

Esse modelo explica as contradições anteriores:

• Para uma mesma frequência, V0 não varia com a intensidade da radiação, pois esta última muda apenas a quantidade de fótons, mas a energia de cada (h f) é constante.

• A frequência de corte existe porque há um valor de frequência tal que $hf_0 = E_0$. Nessa condição, a parcela $e V_0$ é nula, não havendo energia para deslocar o elétron.

Reagrupando a equação anterior,

$$V_0 = \frac{h}{e} f - \frac{E_0}{e} \tag{1D}$$
A igualdade indica uma relação linear de V0 com f, confirmando o resultado experimental do gráfico anterior. Entretanto, a teoria ondulatória da luz não pode ser descartada. Ela explica muitos outros fenômenos. O modelo aceito é a dualidade do comportamento, isto é, dependendo das circunstâncias, a luz pode ser onda ou partícula.


2) Efeito Compton

(Topo | Fim pág)

Este efeito é outra demonstração do conceito de fóton, apresentada em 1923 por A H Compton, que teve como reconhecimento o prêmio Nobel em 1927. A figura mostra o esquema simplificado do experimento, sem detalhes construtivos dos meios e instrumentos usados.

Experimento para Demonstração do Efeito Compton
Fig 2-I

A experiência consistiu em dirigir um feixe de raios X de comprimento de onda λ e medir, por meio do detector, o comprimento de onda da radiação dispersa em um ângulo θ da direção da radiação incidente. Foi observado que, na direção mencionada, também existe uma radiação de comprimento de onda λ' tal que:

$$\lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) \tag{2A}$$
Onde λc é uma constante aproximadamente igual a 2,426 10−12 m.

Pela teoria ondulatória da radiação, esse fato não pode ser explicado. A radiação incidente deveria fazer os elétrons livres oscilarem na mesma frequência e, portanto, a dispersa teria idêntica frequência, de forma semelhante à antena de um transmissor de rádio. A figura a seguir mostra a explicação quântica do fenômeno.

Explicação Quântica para o Efeito Compton
Fig 2-II

Para não violar a lei da conservação da energia, a energia do fóton incidente (h f) deve ser igual à soma da energia do fóton desviado (h f') mais a energia do elétron desviado (Ek). Assim,

$$hf = hf' + E_k \tag{2B}$$
Portanto a frequência do fóton desviado deve ser menor que a do incidente.

Retornando à equação (1A), pode-se demonstrar que a constante λc, também denominada comprimento de onda de Compton para elétrons, tem seu valor dado por:

$$\lambda_c = \frac{h}{m_e c} \tag{2C}$$
h = constante de Planck
me = massa de repouso do elétron
c = velocidade da luz


3) Exemplo

(Topo | Fim pág)

Considere um feixe de raios-x com comprimento de onda λ = 1,00 Å e também um feixe de raios-γ com λ = 1,88 x 10−2 Å que incidem em um alvo feito de ouro Au197. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres for observada a 90º do feixe incidente, qual é a variação no comprimento de onda Δλ devido ao efeito Compton neste caso? (fonte: prova perito Polícia Federal)

(a) 0,0243 Å para raios-x e 0,0457 Å para raios-γ

(b) 0,0243 Å em ambos os casos

(c) 0,0457 Å para raios-x e 0,0243 Å para raios-γ

(d) 0,0457 Å em ambos os casos

Dados:

massa de repouso do elétron m0 = 9,11 x 10−31 kg
constante de Planck h = 6,63 x 10−34 Js
velocidade da luz no vácuo 3 x 108 m/s
1 Å = 10−10 m

Solução: da igualdade (2A) do tópico Efeito Compton, a variação do comprimento de onda em função do ângulo de observação é:

λ' − λ = λc (1 − cos θ)

Desde que θ = 90º,

λ' − λ = λc

Conforme (2C) do mesmo tópico,

λc = h / (me c)

Substituindo pelos valores dados (me é o m0 da questão),

λc = 6,63 10−34 / ( 9,11 10−31 3 108 ) ≈ 0,243 10−11 m = 0,0243 Å

Portanto, a variação do comprimento de onda, Δλ = λ' − λ = 0,0243 Å, não depende da onda incidente nem do material do alvo. Resposta (b).


4) Efeito Compton (continuação)

(Topo | Fim pág)

Voltando à relação (2B) e considerando que o elétron atinge velocidades próximas da luz, deve-se usar a equivalência relativística entre matéria e energia para a energia cinética do elétron:

$$hf = hf' + (m - m_e)c^2 \tag{4A}$$
Onde me é a massa de repouso do elétron e c é a velocidade da luz. Considera-se agora a equação relativística para a massa com velocidade v:

$$m = m_e \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \tag{4B}$$
Substituindo em (4A) e também usado a relação $f=c/\lambda$ onde λ é comprimento de onda,

$$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - 1 \right) \tag{4C}$$

Seja, por simplicidade, um movimento retilíneo onde E é energia (= F x), F é força (= m a), v é velocidade (= x / t), a é aceleração (= v / t), x é deslocamento, t é tempo e $p = mv$ é quantidade de movimento ou momento linear. Portanto,

$$E = F x = m a x = m \frac{v}{t} x = m v \frac{x}{t} = p v \tag{4D}$$

Desde que as parcelas de (4C) são energia, pode-se calcular o momento linear para o fóton:

$$p_f = \frac{hc/\lambda}{c} = \frac{h}{\lambda} \tag{4E}$$
Para o elétron, considerando (4B),

$$p_e = m v = m_e v \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \tag{4F}$$
Desde que o momento linear também é conservado, pode-se escrever (2B) em termos dessa grandeza em vez de energia. Sendo uma grandeza vetorial, deve-se então estabelecer equações para os eixos horizontal e vertical, x e y, envolvidos no movimento. Para x:

$$\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'} \cos \theta + m_e v \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \cos \beta \tag{4G}$$

Para o eixo y, o momento linear do fóton incidente é nulo porque ele está na direção x:

$$0 = \frac{h}{\lambda'} \sin \theta + m_e v \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \sin \beta \tag{4H}$$

As relações (4C), (4G) e (4H) formam um sistema de equações, que pode ser trabalhado para eliminar as variáveis v e β, reduzindo-o a uma única equação. Omitindo o desenvolvimento matemático, o resultado é:

$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \theta) \tag{4I}$$
Esse resultado demonstra a igualdade (2C) para a constante λc.
Referências
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2017