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Resumos 01-10
Algumas notas e fórmulas básicas destinadas a consultas rápidas ou estudos
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Matemática |
Matemática
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Diversos
(a + b) (a − b) = a2 − b2
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Logaritmos
Se m = loga b, então am = b
colog x = log (1/x) = − log x
loga N = loga b logb N
Análise combinatória
Coeficiente binomial
C(n, k) = n! / [ (n−k)! k! ]
An,k = C(n, k) k!
Cn,k = C(n, k)
Cálculo diferencial
d(a xn) = a n xn−1 dx
d(eax) = a eax dx
d(ln x) = (1/x) dx para x ≠ 0
d(sen ax) = a cos ax dx
d(cos ax) = − a sen ax dx
d(xy) = x dy + y dx
Matrizes
A0 = I
An = A An−1
(AT)T = A
(A + B)T = AT + BT
(kA)T = k AT
(AB)T = BT AT
Se AT = A, então A é simétrica
Seja An×n. Se existe a inversa A−1,
A A−1 = A−1 A = I, A é dita singular
(A−1)−1 = A
(AB)−1 = B−1 A−1
(AT)−1 = (A−1)T
Se AT = A−1, A é dita ortogonal
Determinantes
det(AB) = det A det B
det(kIn) = kn
det(kA) = kn det A
det(AT) = det A
det(A−1) = (det A)−1
det A = 0 se uma linha (ou coluna) de A é igual à outra linha ou coluna multiplicada por uma constante
det A' = det A se A' é igual a A com uma linha trocada por uma coluna
det A' = det A se A' é igual a A com uma linha (ou coluna) ± constante × outra linha (ou coluna)
det A' = − det A se A' é igual a A com duas linhas (ou colunas) trocadas
det A' = k det A se A' é igual a A com uma linha (ou coluna) multiplicada por k
Lógica
Proposição:
• só pode ser verdadeira ou falsa
• não pode ser verdadeira e falsa
Proposição complexa:
• proposições simples ligadas por conectivos (o homem fala E vive)
Conectivos lógicos:
• negação (NÂO ~ ¬)
• conjunção (E Λ &)
• disjunção (OU V |)
• condicional (→ SE...ENTÃO)
• bicondicional (↔ SE E SOMENTE SE)
Negação (~):
• falsa se verdadeira e verdadeira se falsa
Conjunção (&):
• verdadeira se todas verdadeiras. Falsa nos demais casos
Disjunção (|):
• verdadeira se pelo menos uma é verdadeira. Falsa se todas são falsas
Relações úteis:
~(A & B) = ~A | ~B
~(A | B) = ~A & ~B
Condicional (ou implicação):
p q p→q
F F V
F V V
V F F
V V V
Só é falsa de p é verdadeiro e q é falso
Se p→q, então:
• a recíproca q→p não é necessariamente verdadeira
• a contrária ~p→~q não é necessariamente verdadeira
• a contrapositiva ~q→~p é sempre verdadeira
Bicondicional (ou equivalência)
p q p↔q
F F V
F V F
V F F
V V V
Só é verdadeira se ambas têm o mesmo valor lógico
p é uma tautologia se o seu valor lógico é sempre verdadeiro. Ex: p | ~p
p é uma contradição se o seu valor lógico é sempre falso. Ex: p & ~p
Espaços vetoriais
V ≠ Ø é um espaço vetorial se e somente se:
01) Existe uma adição tal que
• u + v = v + u (prop comutativa)
• u + (v + w) = (u + v) + w (prop associativa)
• u + 0 = u (elemento neutro)
• u + (−u) = 0 (existência de negativo)
02) Existe uma multiplicação tal que
• α(βu) = (αβ)u
• (α + β) u = αu + βu
• α(u + v) = αu + αv
• 1 u = u
Um subconjunto S ≠ Ø de V é um subespaço vetorial se as condições abaixo são válidas:
(u, v) 
S tem-se u + v S
α R e u S tem-se αu S
Qualquer espaço vetorial V tem, pelo menos, dois subespaços:
{V} e {0}. Esses são denominados subespaços triviais. Os demais são subespaços próprios
O vetor v V é uma combinação linear de n elementos vi V se existem n números reais αi tais que:
v = ∑ αi vi
Se S1 e S2 são subespaços de V, então o espaço definido por
S = S1 + S2 contém todos os vetores (u + v) tais que
u S1 e v S2
Nessa condição, S é também um subespaço vetorial de V
O espaço vetorial V é a soma direta, isto é,
V = S1 
S2
se ocorre:
V = S1 + S2 e também S1 
S2 = Ø
Seja um conjunto de vetores
A = {v1, ... ,vn} ≠ 0
E S o conjunto das combinações lineares desses vetores, isto é,
(u = ∑ αi vi) S
Então S é um subespaço vetorial. Usa-se a notação:
S = [v1, ... ,vn] = G(A)
S: subespaço gerado
vi: geradores do subespaço
A: conjunto gerador
Os vetores (v1, ... ,vn) V são linearmente independentes (LI) se
∑ αi vi = 0 implica todos os αi = 0
Se a soma é nula para ou ou mais αi ≠ 0, eles são linearmente dependentes (LD)
Se pelo menos um vi do conjunto {v1, ... ,vn} é combinação linear dos demais, então esse conjunto é LD
O conjunto B = {v1, ... ,vn} V é uma base de V se:
• B é linearmente independente
• V = G(B), ou seja, B gera V
B é uma base canônica se tem forma segundo exemplo: B = {(1,0) , (0,1)}
Se B = {v1, ... ,vn} é uma base de V, então todo conjunto com mais de n vetores em V é LD
Duas bases quaisquer do mesmo espaço vetorial V têm sempre o mesmo número de vetores
Dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de uma base sua
Se dim V = n, qualquer conjunto LI de V é parte de uma base de V
Se B = {v1, ... ,vn} é uma base de V, qualquer v V é uma combinação linear dos vetores de B
Transformações lineares
Uma função T, genericamente representada por
T:V → W,
que faz o mapeamento de vetores no espaço vetorial V para o espaço vetorial W, é uma transformação linear se:
• T(u + v) = T(u) + T(v)
• T(α u) = α T(u)
w = T(v) é a imagem do vetor v em W
Demonstra-se que T(0) = 0
Alguns casos particulares:
T(v) = v (transformação identidade)
T(v) = 0 (transformação nula)
T(v) = − v (transformação simétrica)
T(x, y, z) = (x, y 0) (projeção ortogonal)
Uma matriz Am×n determina uma transformação linear do tipo
T:Rn → Rm com T(v) = A v
Onde o vetor v é representado por uma matriz n×1
Núcleo de uma transformação linear T:V → W é o conjunto de todos os vetores v de V tais que T(v) = 0, ou seja,
N(T) = {v V; T(v) = 0}
N(T) é um subespaço vetorial de V
Imagem de uma transformação linear T:V → W é o conjunto de todos os vetores w de W que são imagens de pelo menos um vetor v de V, ou seja,
Im(T) = {w W; T(v) = w para algum v V}
T:V → W é uma transformação injetora se
N(T) = {0}
T:V → W é uma transformação sobrejetora se
Im(T) = W
Teorema do núcleo e da imagem
Para uma transformação linear T:V → W, vale:
dim[ N(T) ] + dim[ Im(T) ] = dim V
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