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Formulação teórica da aleta
| Topo pág | Fim pág |O método de cálculo visto em página anterior usa fórmulas desenvolvidas e resultados de observações práticas. Mas o calor transferido por uma aleta pode ter sua dedução teórica.
Considera-se, conforme Figura 01 abaixo, uma aleta genérica, isto é, de seção transversal qualquer e não necessariamente uniforme. Para uma porção elementar, situada entre x e x+dx, dΦα(x) é o calor trocado por convecção com o fluido, que deve ser igual ao negativo da diferença trocada entre faces opostas dΦ(x).
dΦα(x) = − dΦ(x) #A.1#Segundo relação básica da condução de calor,
Φ(x) = Q(x) / t = − λ Ss dT / dx #A.2#Onde Ss é a área da seção transversal conforme indicado na figura. O parâmetro λ é a condutividade térmica do material da aleta.
Agora faz-se a suposição de que a temperatura ao longo de uma seção transversal é constante. Isso é válido se a aleta é fina, fato usual na maioria dos casos práticos. Nessa hipótese, a temperatura na seção transversal na posição x é igual à temperatura da parede Tw(x) no mesma posição. Considera-se também que a temperatura do fluido em convecção T é constante.
Seja a variável
τ(x) = Tw(x) − T #B.1#. Então, entre as seções em x e em x + dx,dT = dτ #B.2#. E a igualdade anterior fica:
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| Figura 01 |
Φ(x) = − λ Ss dτ(x) / dx #C.1#Considera-se a propriedade das diferenciais:
d(xy) = x dy + y dx #C.2#Então,
dΦ(x)/dx = −λ [(dSs/dx)(dτ/dx) + Ss(d2τ/dx2)]
#C.3#O calor trocado por convecção dΦα(x) é igual ao produto do coeficiente de convecção α pela área lateral dSα e pela diferença de temperatura Tw − T = τ(x).
dΦα(x) = α dSα τ(x) #D.1#Substituindo em #A.1#,
α τ(x) dSα / dx = λ [ (dSs/dx) (dτ/dx) + Ss (d2τ/dx2) ] #D.2#Rearranjando a igualdade, obtém-se a equação diferencial para uma aleta genérica de pequena espessura
#D.3#Aplica-se agora a equação anterior para uma aleta retangular conforme Figura 02. Desde que a seção transversal é constante,
Ss = a e = constante #E.1#Assim,
(dSs/dx) = 0 e a segunda parcela é eliminada.
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| Figura 02 |
(dSα/dx) = P #F.1#d2τ / dx2 − (α P / λ Ss) τ = 0 #F.2#Define-se o parâmetro:
#F.3#Substituindo,
d2τ / dx2 − m2 τ = 0 #F.4#A solução para essa equação diferencial é:
τ = C1 cosh mx + C2 senh mx #F.5#Para determinação das constantes, usam-se as condições extremas.
Para
x = 0, ocorre τ0 = C1 1 + C2 0. Portanto, C1 = τ0 #F.6#.Para x = L, considera-se que a transmissão de calor na extremidade é muito pequena, uma vez que que a aleta é supostamente delgada (espessura e na figura pequena e comprimento L relativamente grande). Assim,
dτ/dx = 0 nesse ponto.0 = dτ/dx = m τ0 senh mL + m C2 cosh mLC2 = − τ0 senh mL / cosh mL #F.7#Substituindo e simplificando na igualdade anterior,
#G.1#Lembrando que
τ0 = Tw − T #G.2#Onde Tw é a temperatura da parede da superfície principal e T a temperatura do fluido.
Derivando essa equação para x = 0,
dτ/dx = − τ0 m senh mL / cosh mL = − τ0 m tanh mL #G.3#O calor total dissipado pela aleta é igual ao calor por condução em x = 0. Ou seja,
Φ = − λ Ss dτ/dx #H.1# para x = 0Substituindo dτ/dx na relação anterior,
Φ = λ Ssτ0 m tanh mL #H.2#.Se a aleta não é delgada, isto é, comprimento relativamente pequeno em relação à espessura, não se pode desprezar a troca de calor na extremidade. Omitindo o desenvolvimento matemático, o resultado para o calor dissipado pela aleta é:
#I.1#Dessa igualdade, pode-se deduzir:
| Se |  |
Φ = α Ssτ0 |
É como se a aleta não existisse. |
| Se |  |
A aleta melhora a troca de calor. | |
| Se |  |
A aleta prejudica a troca. Atua como isolador. |
A eficiência da aleta ηa já foi definida no tópico anterior (relação entre o calor real trocado pela mesma e o calor que trocaria se ela tivesse uma temperatura uniforme igual à temperatura da superfície principal). Para a aleta delgada retangular, objeto deste tópico,
ηa = λ Ssτ0 m tanh mL / (α P L τ0) = m tanh mL / [L (α P / λ Ss)] #J.1#
#J.1#Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Ago/2008
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