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Temperatura, entalpia e pressão de estagnação
| Topo pág | Fim pág |Seja a equação da energia para escoamento estacionário, vista em página anterior:
q − we = Δ [h + gz + (1/2)c2] #1.1#Nessa igualdade, despreza-se a diferença de altura Δz (aproximação válida para muitos casos práticos) e usa-se a relação do gás ideal para a entalpia, isto é,
Δh = cp ΔT #2.1#Então, para dois pontos genéricos 1 e 2,
q12 − we12 = [cp T2 + (1/2)c22] − [cp T1 + (1/2)c12] #A.1#Supõe-se agora um fluxo de um gás ideal conforme Figura 01. Se medida a temperatura em um ponto 1, que se desloca na mesma velocidade do fluxo, o resultado será a temperatura real do gás.
Se a temperatura é medida em um ponto fixo como 2 da figura, pode-se dizer que ela é a temperatura resultante da compressão adiabática do gás até velocidade zero. Ela é denominada temperatura de estagnação.
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| Figura 01 |
#B.1#No tópico Velocidade do som, foi visto que ela é dada por:
cs = √ (χ R T) #B.1A#Também visto que o número de Mach (M) é a relação com a primeira:
M = c/cs #B.1B#Assim,
c2 = M2 χ R T #B.2#Das Relações térmicas para gases ideais,
cp − cv = R cp/cv = χ
Portanto,
cp = χ R / (χ − 1) #B.3#Substituindo #B.2# e #B.3# em #B.1#,
TT = T + M2 χ R T (χ − 1) / 2 χ R = T + M2 (χ − 1) T / 2Obtém-se então a fórmula usual para a temperatura de estagnação:
#C.1#Na Transformação adiabática ocorre a relação:
T1/T2 = (p1/p2)(χ−1)/χ #C.2#
Assim, pode-se definir uma pressão de estagnação pT tal que
TT/T = (pT/p)(χ−1)/χ #D.1#Com a fórmula anterior da temperatura chega-se a:
#E.1#De forma similar, pode-se definir uma entalpia de estagnação:
#F.1#E a equação da energia do início deste tópico fica resumida a
q12 − (we)12 = (hT)2 − (hT)1 #G.1#Exemplo numérico I:
Consideram-se os seguintes valores para o ar (suposto gás ideal):
χ = 1,4 cp = 1003,5 J/(kg K) cv = 716,5 J/(kg K) R = 287 J/(kg K)
Se a temperatura numa região da atmosfera é 0ºC ou 273,15 K e a velocidade do vento é 10 m/s,
• Temperatura indicada por um termômetro imóvel em relação ao solo (usando #B.1#):
TT = 273,15 + 102 / (2 1003,5) ≈ 273,2 K• Temperatura indicada por um termômetro em um balão que acompanha o vento:
T = 273,15 K (não há movimento relativo)• Temperatura indicada por um termômetro em um avião que se move com 240 m/s em direção contrária ao vento (neste caso, as velocidades se somam):
TT = 273,15 + 2502 / (2 1003,5) ≈ 304,3 KExemplo numérico II:
A Figura 02 representa a única turbina de um avião supersônico voando a 3 Mach em altitude tal que a temperatura do ar é 217 K. Supõe-se que o ar é um gás ideal com as mesmas propriedades termodinâmicas do exemplo anterior.
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| Figura 02 |
TT(entrada)/217 = 1 + (1,4 − 1) 32 / 2 = 2,8TT(entrada) ≈ 608 K
São dados também:
• vazão de massa da turbina
= 30 kg/s• potência de eixo
dWe/dt = 16 MW• potência calorífica trocada com o meio externo
dQ/dt = 2 MWDesprezando as diferenças de velocidades entre entrada e saída, a igualdade #G.1# combinada com #F.1# fica:
q12 − we12 = cp TT(saída) − cp TT(entrada) = cp [TT(saída) − TT(entrada)]Consideram-se as relações:
q = Q/m w = W/m
Pode-se escrever:
dQ/dt − dWe/dt = cp [ TT(saída) − TT(entrada)]Substituindo os valores,
− 2 000 000 + 16 000 000 = 30 1003,5 [TT(saída) − 608]Portanto,
TT(saída) ≈ 1073 KNotar que essa é a temperatura de estagnação da saída. Se for conhecido o valor da velocidade de saída dos gases em relação ao corpo do avião, a temperatura real poderá ser calculada pela igualdade #C.1#.
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