Sistemas abertos e fechados

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Em Termodinâmica diz-se que um sistema é fechado se apenas calor e trabalho são trocados com o meio externo. A Figura 01 (a) dá uma idéia gráfica. Num sistema aberto, conforme (b) da mesma figura, além de calor e trabalho, há troca de matéria com o meio externo.

Fig 01

Para a maioria dos casos práticos, pode-se dizer que há, no sistema aberto, um fluxo de massa de entrada (q_m1) e um fluxo de massa de saída (q_m2).

Esse modelo de sistema aberto é bastante comum na prática. Alguns exemplos são bombas, caldeiras, compressores, turbinas, etc.

É evidente que a primeira lei vale tanto para sistemas abertos quanto para sistemas fechados, mas, nestes últimos, devem-se considerar, além das parcelas de energia interna, calor e trabalho, a energia e o trabalho dos fluxos de entrada e de saída.

Observação sobre símbolos: como de praxe, usa-se aqui a letra Q para calor (ou q, se for por unidade de massa). Vazões (ou fluxos) são também representados com q, mas seguido de um índice, como q_m para a vazão de massa. Para a velocidade, é usado c no lugar de v para evitar confusão com volume ou volume específico. No caso de altura física, emprega-se z no lugar de h para não confundir com entalpia.

Conservação da energia em escoamentos estacionários

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A Figura 01 deste tópico dá um diagrama genérico de um sistema aberto, com uma entrada e uma saída de fluido, em regime de escoamento permanente ou estacionário (ou seja, as velocidades em cada ponto não variam com o tempo). Conforme já dito no tópico anterior, é o caso da operação típica de bombas, compressores, turbinas a vapor e muitos outros equipamentos.

Sendo μ a massa específica do fluido, para um pequeno intervalo de tempo dt:

Massa que entra d_m1 = μ₁ c₁ S₁ dt.

Massa que sai d_m2 = μ₂ c₂ S₂ dt.

No regime estacionário, a massa de fluido no interior do sistema não se altera. Portanto, d_m1 = d_m2. E vale a conhecida equação da continuidade:

μ₁ c₁ S₁ = μ₂ c₂ S₂ #A.1#.

Fig 01

Se o fluido é incompressível, μ é constante:

c₁ S₁ = c₂ S₂ #A.2#.

A energia do fluido na entrada 1 pode ser dada pela equação de Bernoulli

p₁ + μ g z₁ + μ c₁² / 2. Dividindo tudo pela massa específica,

p₁ / μ₁ + g z₁ + c₁² / 2. Mas p / μ = p v, onde v é o volume específico (1/μ). Portanto,

p₁ v₁ + g z₁ + c₁² / 2.


As parcelas da equação de Bernoulli se referem a energias de fatores externos, ou seja, energia da pressão, energia potencial e energia cinética. Portanto, a energia total da massa de gás na entrada deve ser a soma dessas parcelas com a energia interna do fluido:

e₁ = u₁ + p₁ v₁ + g z₁ + c₁² / 2.

Ao passar pelo sistema, o fluido recebe (ou fornece) calor q e trabalho w_e (este é o trabalho de eixo, porque o trabalho devido à expansão ou contração pv já está incluso como parcela da equação de Bernoulli). Portanto,

e₁ + q − w_e = e₂.

u₁ + p₁ v₁ + g z₁ + c₁² / 2 + q − w_e = u₂ + p₂ v₂ + g z₂ + c₂² / 2.

q − w_e = Δu + Δpv + Δgz + Δc²/2. Pela definição de entalpia, h = u + p v. E a igualdade é simplificada:

q − w_e = Δ (h + gz + c²/2) #B.1#.

Esta é conhecida como equação da energia para escoamento estacionário. Notar que, em vários casos práticos, a contribuição das parcelas de energia cinética e energia potencial pode ser desprezada, reduzindo a igualdade para

q − w_e ≈ Δh #B.2#.

Também em vários casos, o processo de bombas, compressores, turbinas pode ser considerado adiabático (q=0), o que simplifica ainda mais:

w_e ≈ − Δh #B.3#.

Observação sobre trabalho de eixo: o trabalho total do sistema é w = w_e + w_f, onde w_f é o trabalho do fluxo, decorrente da expansão ou contração (pv) do gás entre a saída e a entrada, conforme já mencionado. Notar que não se trata de de um ciclo termodinâmico. Para este último, desde que os estados inicial e final são idênticos, w_f = 0 e, portanto, w = w_e.

Velocidade do som

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Para ondas longitudinais em uma barra elástica, a velocidade de propagação é dada por

c = √(E/μ) #1.1#, onde E é o módulo de elasticidade e μ a massa específica do material da barra (ver página Eletromagnetismo IV-20).

Para ondas sonoras no ar é possível chegar a resultado similar, mas uma analogia com essa fórmula também é possível conforme a seguir demonstrado.

O módulo de elasticidade de um material sólido é dado por

E = σ / ε #2.1#, onde σ é a tensão aplicada (ou melhor, variação da tensão aplicada) e ε a deformação específica, ou seja, a relação entre a variação de comprimento e o comprimento dℓ / ℓ.

Para o ar (ou qualquer outro gás), a tensão σ equivale à pressão e, desde que a pressão atua em todas as direções, a deformação deve ser volumétrica, dv /v, onde v é o volume específico. Portanto, em valor absoluto, o módulo de elasticidade equivalente (que se chama K) pode ser dado por

K = − dp / (dv / v) = − v (dp/dv) #3.1#. O sinal negativo ocorre porque, no gás, o aumento de pressão diminui o volume.

Substituindo na igualdade anterior da velocidade e considerando que μ = 1/v, chega-se à fórmula para a velocidade do som:

c = √ ( K/μ) = √ [- (1/μ²) dp/dv ] #A.1#.

Mas a propagação de ondas em um gás é em geral considerada um processo adiabático, o que implica

p v^x = C_ad (constante) #A.2#, onde p é pressão, v é volume específico e x é a relação de c_p/c_v (calor específico com pressão constante / calor específico com volume constante) para o gás. Portanto,

dp/dv = d (C_ad / v^x) / dv = d (C_ad v^−x) / dv = C_ad (−x) v^−x−1 = p v^x (−x) v^−x−1.

dp/dv = − x p / v. Substituindo em #A.1#,

c = √ (x p / μ) = √ (x p v) #B.1#.

Usando a equação de estado para o gás ideal, a fórmula da velocidade do som em um gás fica simplificada:

c = √ (x R_gas T) #C.1#. Onde:

c: velocidade em m/s.
x: relação c_p / c_v.
R_gas: constante do gás em J/(kg K).
T: temperatura absoluta em K.

Exemplo: a constante universal do gás ideal é R ≈ 8,315 J / (K mol). Para o ar, M ≈ 0,029 kg/mol e x = 1,4. Portanto,

R_ar ≈ (8,315 / 0,029) J / (K kg). Para temperatura 20ºC ou T = 293,15 K, a velocidade do som é

c ≈ √ [1,4 (8,315 / 0,029) 293,15] ≈ 343 m/s ≈ 1235 km/h.

Para o ar, uma fórmula, aproximada e mais simples, é

v ≈ 331,4 + 0,6 t #D.1#. Onde t é a temperatura em ºC e o resultado é dado em metros por segundo.

O número de Mach (Ma) de um objeto ou de um escoamento é a relação entre a sua velocidade e a velocidade do som. Desde que esta última é dependente da temperatura, na atmosfera por exemplo, uma mesma velocidade pode ter números de Mach diferentes, a depender do local e altitude. A tabela abaixo dá uma classificação comum de velocidades.

Subsônica: Ma < 1

Sônica: Ma = 1

Transônica: 0,8 < Ma < 1,3

Supersônica: 1,2 < Ma < 5

Hipersônica: Ma > 5