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Termodinâmica II-30



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Transformação isocórica

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Na transformação isocórica, o volume é mantido constante. No diagrama pv, ela é representada por uma linha paralela ao eixo p, conforme indicado na Figura 01.

Da equação dos gases ideais, pode-se facilmente deduzir que, entre dois pontos 1 e 2, vale a relação:

p1  =  T1   #A.1#.
p2 T2

Na prática, essa transformação ocorre, por exemplo, quando se aquece ou se resfria uma massa de gás no interior de um recipiente rígido e fechado.

Transformação isocórica
Figura 01
Desde que não há variação de volume, não pode haver trabalho externo, o que matematicamente pode ser comprovado pela relação dW = p dv. Portanto,

W = 0  #B.1#.

Da primeira lei da Termodinâmica, Δu = q − w = q. Usando a relação do calor específico com volume constante, chega-se a

Δu = Δq = cv ΔT  #C.1#.

Exemplo: o ar contido num reservatório tem pressão de 1 atm e temperatura de 15ºC. Qual será a pressão se for aquecido a 160ºC?

p1 = 1 atm = 101 325 Pa.
t1 = 15ºC .Convertendo, T1 ≈ 288 K.
t2 = 160ºC .Convertendo, T2 = 433 K.

Usando a relação #A.1#,

p2 = p1 T2 / T1 = 101325 433 / 288 ≈ 152 339 Pa  ou aproximadamente 1,5 atm.



Transformação isotérmica

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Na transformação com temperatura constante, o lado direito da equação dos gases ideais (p V = n R T) é invariável ou

p V = n R T = constante  #1.1#.

Portanto, as curvas isotérmicas são hipérboles eqüiláteras.

Naturalmente, o valor da constante depende da temperatura em que o processo é mantido. A Figura 01 dá exemplo aproximado de três curvas isotérmicas (a, b e c) com Ta > Tb > Tc.

Transformação isotérmica
Figura 01
Entre dois pontos genéricos (1 e 2) de uma curva isotérmica vale:

p1 V1 = p2 V2 = n R T  #A.1#.

Já visto que a energia interna de um gás ideal só depende da temperatura. Se ela é constante,

Δu = u2 − u1 = 0  #B.1#.

O trabalho executado pelo sistema (ou trabalho externo) é calculado pela relação comum dW = p dV.

Substituindo o valor de p segundo #1.1# e integrando,

W =  2  p dV = 2  n R T  dV  = n R T ln( V2 ) 
1 1 V V1

Segundo #A.1#,

V2  =  p1    E também,  n R T = p1 V1 = p2 V2
V1 p2

Portanto,

W = p1 V1 ln( p1 ) = p2 V2 ln( p1 ) = n R T ln( p1 )  #C.1#.
p2 p2 p2

De acordo com a primeira lei, ΔU = Q − W. Mas, para este processo, ΔU = 0 conforme #B.1#. Portanto,

Q = W  #D.1#.

Isso significa que, numa expansão isotérmica, todo o calor fornecido é transformado em trabalho executado pelo sistema.


Exemplo: seja a expansão isotérmica de 100 kg de ar a 20ºC de 10 atm até 1 atm. Calcular o trabalho executado.

T1 = T2 = T ≈ (273 + 20) = 293 K.
p1 = 10 atm = 1 013 250 Pa.
p2 = 1 atm = 101 325 Pa.
m = 100 kg.

Para o ar, segundo tabelas, 29 g/mol. Assim n = 100 1000 / 29 ≈ 3448,3 mols.

Usando a fórmula #C.1#,

W = n R T ln (p1/p2) = 3448,3 mol 8,315 J/(mol K) 293 K ln (1013250/101325) ≈ 19,34 MJ.



Transformação adiabática

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No processo adiabático, não há troca de calor com o sistema, dq = 0. Conforme primeira lei, du = dq − dw . Portanto,

du + dw = 0  #1.1#.

Segundo o conceito de calor específico com volume constante, du = cv dT. O trabalho de um gás é dw = p dv. Substituindo tudo na anterior,

cv dT + p dv = 0  #2.1#.

Das relações de calor específico, cp mol = cv mol + R. Se multiplicado tudo por (n/m), onde n é o número de mols e m a massa de gás, obtém-se cp e cv relativos à massa:

cp = cv + (n/m) R. Mas cp/cv = χ. De outra forma, cp = χ cv. Substituindo na anterior,

χ cv = cv + (n/m) R. Rearranjando,

cv = (n/m) R / (χ − 1)  #3.1#.

Da equação dos gases ideais, p V = n R T. Dividindo pela massa m para obter volume específico, p v = (n/m) R T.

Assim, T = (m/n) (1/R) p v. Usando a propriedade da diferencial de um produto,

dT = (m/n) (1/R) p dv + (m/n) (1/R) v dp  #4.1#.

Substituindo dT em #2.1# e também o valor de cv de #3.1#,

[ (n/m) R / (χ − 1) ] [ (m/n) (1/R) p dv + (m/n) (1/R) v dp ] + p dv = 0.

p dv + v dp + χ p dv − p dv = 0. Simplificando e dividindo por pv,

χ dv / v + dp / p = 0  #5.1#. A solução para essa equação diferencial é dada por p vχ = constante. Assim,

Transformação adiabática
Figura 01
p1 v1χ = p2 v2χ  #A.1#.

De outra forma,

v1  = ( p2 ) 1/χ  #B.1#.
v2 p1  

Onde χ é um número adimensional dado pela relação cp/cv, o que pode ser visto com mais detalhes no tópico Relações térmicas para gases ideais (é comum, em várias referências, o uso da letra grega gama minúscula, γ, no lugar de chi, χ).


Combinando a igualdade anterior com a equação dos gases ideais, pode-se chegar a

v1  = ( T2 ) 1/(χ−1)  #C.1#.
v2 T1  

T1  = ( p1 ) (χ−1)/χ  #C.2#.
T2 p2  

Voltando ao início deste tópico, du + dw = 0 ou dw = − du. Isso significa que, numa expansão adiabática, o trabalho produzido corresponde à redução da energia interna e, portanto, de temperatura. No caso contrário (compressão adiabática), o trabalho aplicado resulta em aumento da energia interna e, por conseqüência, de temperatura. Na prática, processos que se aproximam do adiabático são os que ocorrem rapidamente (há pouco tempo para troca de calor) ou os que acontecem em locais termicamente isolados.

De #1.1#, dw = − du. Das relações de calor específico, du = cv dT. Combinando com #3.1#,

w = cv (T1 − T2) =  n   R  (T1 − T2 #D.1#.
m χ − 1

A Figura 01 dá exemplo da curva de uma transformação adiabática. Para comparação, a linha tracejada é de uma transformação isotérmica que passa pelo mesmo ponto 1.


Exemplo: expansão adiabática de 100 kg de ar a 20ºC, de 10 atm a 1 atm.

t1 = 20ºC. Portanto T1 ≈ 20 + 273 = 293 K.

p1 = 10 atm = 1 013 250 Pa.
p2 =  1 atm =   101 325 Pa.

O ar é uma mistura de gases predominantemente diatômicos. Portanto, χ = 1,4. E também (χ−1)/χ ≈ 0,286.

Segundo #C.2#,

T1/T2 = (p1/p2)0,286 ≈ 1,932. Resolvendo, T2 ≈ 293 / 1,932 ≈ 152 K.

No tópico Transformação isobárica, visto que, para o ar,

cp ≈ 1005 J/(kg ºC). Assim, cv ≈ 1005 / 1,4 = 718 J/(kg ºC).

Usando #D.1#,

W = m w = m cv (T2 − T1) = 100 718 (293 − 152) ≈ 10 123 800 J ≈ 10,1 MJ.


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