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Medições I-40
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Combinação de incertezas - Grandezas parcialmente dependentes |
Combinação de incertezas - Grandezas parcialmente dependentes
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Em páginas anteriores, foram examinados métodos separados para combinação de incertezas de grandezas dependentes e de grandezas independentes. Há, entretanto, casos em que ambas as situações estão presentes. Exemplo: o volume de um paralelepípedo é calculado a partir das medições de duas dimensões com o mesmo instrumento e de uma dimensão com outro instrumento. Há, portanto, a combinação de duas grandezas dependentes entre si e de uma terceira delas independente.
Numa situação genérica, deve ser possível calcular a incerteza combinada a partir de uma relação matemática entre grandezas, dos resultados das medições e de parâmetros estatísticos que identifiquem as relações de dependência. Isso é proporcionado pela fórmula a seguir.
#A.1#
Onde:
• g: grandeza resultante das medições xi, ou seja, g = f( x1, x2, ... )
• u(g): incerteza combinada de g
• u(xi): incerteza da medição da grandeza xi
• r(xj, xk): coeficiente de correlação entre xj e xk (algumas informações sobre correlação podem ser vistas na página Probabilidades e estatística V-00 deste site).
Se todas as grandezas são independentes, r(xj, xk) = 0, e a parcela do duplo somatório da igualdade #A.1# é nula. Assim, ela se reduz à formula dada em página anterior para grandezas independentes.
Também pode ser notado que a a incerteza aumenta se ocorre dependência, fato já mencionado em páginas anteriores.
Caso particular
Sejam g = f(x1, x2, x3) e os coeficientes de correlação:
r(x1, x2) = 1
r(x1, x3) = r(x2, x3) = 0
Isso significa que as grandezas x1 e x2 são dependentes e x3 é independente. Para esse caso, a fórmula anterior fica reduzida a
#B.1#
Exemplo 01 (Fonte - Concurso Inmetro 2001): Para a determinação do volume de uma peça de aço na forma de um paralelepípedo retângulo, foram utilizados: um micrômetro, para a medição da altura e da largura da seção transversal, e um paquímetro, para a medição do comprimento da seção transversal.
Os valores obtidos para cada uma dessas dimensões foram:
altura: 20,000 ± 0,005 mm
largura: 25,000 ± 0,005 mm
comprimento: 100,00 ± 0,03 mm
Considerando os resultados das medições, é correto afirmar que a incerteza combinada do(a)
(a) área da seção transversal é igual a √ 256,25 mm2.
(b) volume total do prisma é igual a 7,5 × 10−7 mm3.
(c) volume total do prisma é igual a √ 481,25 mm3.
(d) volume total do prisma é igual a √ 731,25 mm3.
(e) volume total do prisma é igual a 37,5 mm3.
Solução: este problema é o caso particular anterior com as seguintes correspondências:
g = f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3
x1 = 20,000 u(x1) = 0,005
x2 = 25,000 u(x2) = 0,005
x3 = 100,00 u(x3) = 0,03
As derivadas parciais são:
∂ f / ∂ x1 = x2 x3
∂ f / ∂ x2 = x1 x3
∂ f / ∂ x3 = x1 x2
Substituindo esses valores em #B.1# e dividindo tudo por x1 x2 x3, a igualdade é simplificada para:
[ u(g) / (x1 x2 x3) ]2 = [ u(x1)/x1 + u(x2)/x2 ]2 + [ u(x3)/x3 ]2
O volume é g = x1 x2 x3 = 20,000 25,000 100,00 = 50000 mm2
Inserindo os valores na igualdade anterior,
[ u(g) / 50000 ]2 = [ 0,005/20,000 + 0,005/25,000 ]2 + [ 0,03/100,00 ]2
[ u(g) / 50000 ]2 = [ 0,00025 + 0,0002 ]2 + [ 0,0003 ]2 = 29,25 10−8
u(g) = 5 104 √29,25 10−4 = √(25 29,25) = √731,25
Resposta (d).
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