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Medições I-30




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Combinação de incertezas - Grandezas independentes |



Combinação de incertezas - Grandezas independentes

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Medições executadas com instrumentos diferentes produzem em geral grandezas independentes. Assim, a probabilidade de sobreposição de variações numa mesma direção é presumivelmente pequena, e a incerteza resultante é menor, se comparada com a combinação de grandezas dependentes.

Considera-se a grandeza g dada pela função:

#A.1#

Onde x1, x2, ... são independentes.

Então, a incerteza de g é obtida pela fórmula genérica:

#B.1#

Há uma evidente semelhança com a fórmula para grandezas dependentes vista em página anterior. A diferença é o uso da soma dos quadrados no lugar da soma simples.

Os itens seguintes dão os resultados da fórmula acima para alguns casos particulares comuns.


1) Soma e subtração

#C.1#

Portanto, na soma ou na subtração, o quadrado da incerteza combinada é igual à soma dos quadrados das incertezas individuais.


2) Multiplicação e divisão

#D.1#

Portanto, na multiplicação ou na divisão de grandezas independentes, o quadrado da incerteza relativa combinada é igual à soma dos quadrados das incertezas relativas individuais.


Exemplo 01: um micrômetro foi usado para medir a largura B da seção transversal de uma barra de seção retangular, chegando-se ao resultado (25,000 ± 0,005) mm. A altura H da seção foi medida com um paquímetro, obtendo-se o resultado (100,00 ± 0,04) mm. Determinar a incerteza combinada para a área S da seção transversal da barra.

As grandezas B e H são independentes porque foram obtidas por meio de instrumentos diferentes. Desde que S = B H, usa-se a fórmula #D.1#:

[ u(S) / S ]2 = [ u(B) / B ]2 + [ u(H) / H ]2 =
(0,005/25)2 + (0,04/100)2 = 2 10−7

[ u(S) / S ] = √ (2 10−7)

Calculando,

S = B H = 25 100 = 2500,0 mm2

u(S) = 2500,0 √ (2 10−7) ≈ 1,1 mm2


Exemplo 02: deseja-se determinar a massa específica ρ de um material a partir de uma amostra cilíndrica. A massa M é medida com uma balança, resultando em M ± u(M). O diâmetro e a altura (D e H) são medidos com instrumentos diferentes, resultando em D ± u(D) e H ± u(H) respectivamente. Desenvolver a fórmula para a relação entre a incerteza da massa específica u(ρ) e as incertezas dessas medições.

A função para a massa específica é facilmente dedutível:

ρ = f(M, D, H) = (4/π) M / (D2 H)

As grandezas são claramente independentes e, desde que, além de multiplicação e divisão, há operação de potenciação, as fórmulas anteriores para casos particulares não podem ser usadas. Assim, é aplicada a fórmula básica #B.1#, que deve ser considerada sempre que a relação matemática não puder ser reduzida a casos simples.

Determinando as derivadas parciais,

∂ ρ / ∂ M = (4/π) / (D2 H)
∂ ρ / ∂ D = (4/π) (−2) M / (D3 H)
∂ ρ / ∂ H = (4/π) (−1) M / (D2 H2)

Substituindo em #B.1# e simplificando,

u(ρ)2 =
(4/π)2 { [u(M) / (D2 H)]2 + [u(D) / (−2) / (D3 H)]2 + [u(H) / (−1) / (D2 H2)]2

A simplificação pode ser maior se as parcelas são divididas por ρ2 da relação básica anterior:

[ u(ρ) / ρ ]2 = [ u(M) / M ]2 + [ 2 u(D) / D ]2 + [ u(H) / H ]2

Com a igualdade acima, a incerteza da massa específica u(ρ) é obtida a partir dos valores medidos, das respectivas incertezas e do valor calculado de ρ = (4/π) M / (D2 H).


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