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Medições I-20
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Combinação de incertezas - Introdução |
Combinação de incertezas - Grandezas dependentes |
Combinação de incertezas - Introdução
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Grandezas físicas podem ser medidas diretamente nos casos em que o instrumento fornece a indicação final. Exemplo: um voltímetro indica a tensão elétrica entre dois pontos. Há também, por razões técnicas ou econômicas, grandezas cujos valores são obtidos indiretamente, através da medição de outras grandezas e das relações matemáticas entre elas.
Como exemplo de medição indireta, pode-se citar a velocidade obtida a partir da relação dos valores medidos de distância e de tempo. Desde que todas as medições têm incertezas, a questão é saber, nesse caso, a incerteza para o valor calculado de velocidade a partir das incertezas obtidas das medições de distância e de tempo.
De forma genérica, pode-se dizer que há uma grandeza g dada por uma função matemática de outras x1, x2, etc. Ou seja,
#A.1#
É usual simbolizar a incerteza com a letra u (do inglês "uncertainty") seguida do símbolo da grandeza entre parênteses. Assim, o objetivo é a determinação, a partir da função anterior, da incerteza u(g) como uma função fu das incertezas individuais u(x1), u(x2), etc:
#A.2#
Combinação de incertezas - Grandezas dependentes
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Grandezas estatisticamente dependentes são, em geral, aquelas obtidas pelo mesmo instrumento. Exemplo: um paquímetro é usado para medir as arestas de um paralelepípedo e, com os valores, o seu volume é calculado.
O uso do mesmo instrumento aumenta a probabilidade da sobreposição de desvios, de forma que a incerteza combinada de grandezas dependentes é relativamente maior que a de grandezas independentes.
Considerando
#A.1#
e x1, x2, etc grandezas dependentes, a fórmula genérica é dada por:
#B.1#
A igualdade acima pode ser usada em casos particulares comuns (soma, subtração, multiplicação, etc) para obter fórmulas simples e diretas.
Antes da menção a esses casos, consideram-se as definições:
• incerteza absoluta é a incerteza em unidades físicas, u(xi) conforme já visto. Exemplo: se o resultado de ordem i de uma medição genérica i é (20,0 ± 0,2) mm, os valores são xi = 20,0 mm e u(xi) = 0,2 mm.
• incerteza relativa é a relação entre a incerteza absoluta e o valor da grandeza:
#B.2#
Para o exemplo anterior, ela é dada por 0,2 / 20 = 0,01.
• incerteza percentual é a incerteza relativa multiplicada por 100:
#B.3#
Deve-se notar, entretanto, que nem sempre incertezas relativas e percentuais são intercambiáveis na mesma fórmula.
Os itens seguintes dão os casos particulares mais comuns para combinação de incertezas de grandezas dependentes (igualdade #B.1#).
1) Soma e subtração
#C.1#
Portanto, na soma ou na subtração, as incertezas absolutas são somadas.
2) Multiplicação por constante
#D.1#
A igualdade acima é facilmente deduzida a partir da anterior (#C.1#).
3) Multiplicação e divisão
#E.1#
#E.2#
Portanto, na multiplicação ou na divisão, as incertezas relativas são somadas.
4) Potenciação
#F.1#
A fórmula acima é conseqüência da igualdade #E.1# do item anterior.
Exemplo 01: o resultado da medição do diâmetro D de um eixo de seção circular foi 20,0 ± 0,2 mm. Determinar a área S da seção transversal desse eixo e a respectiva incerteza.
Calculando a área,
S = (π / 4) D2 = (π / 4) 202 = 314,2 mm2
De acordo com #D.1#,
u(S) = u[ (π / 4) D2 ] = (π / 4) u(D2)
De acordo com #F.1#,
u(D2) / D2 = 2 u(D) / D.
Assim,
u(D2) = 2 u(D) D.
Substituindo na anterior,
u(S) = (π / 4) 2 u(D) D = (π / 4) 2 0,2 20 = 6,3 mm2
Portanto, o resultado da área é dado por
R(S) = (314,2 ± 6,3) mm2
O exemplo anterior mostra que, em princípio, é possível juntar igualdades do itens 1 a 4 para obter resultados. Às vezes, o uso de uma variável auxiliar pode ajudar. Seja, por exemplo,
g = x1 / (x2 + x3).
Se é feito y = x2 + x3, ocorre g = x1 / y.
Assim, calculam-se u(y) de acordo com #C.1# e u(g) de acordo com #E.2#. Entretanto, esse procedimento nem sempre é válido. Se, por exemplo,
g = (x1 + x2) / (x1 + x3), deve-se determinar as derivadas parciais segundo #B.1#.
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