Introdução

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O método dos elementos finitos é uma importante ferramenta computacional para executar cálculos que na prática seriam muitos difíceis ou mesmo impossíveis. As suas primeiras aplicações tiveram início na década de 1950.

Até certa época, o processamento só podia ser feito nos caros mainframes e, por isso, o uso era restrito a grandes empresas, centros de pesquisa, instalações militares. Com a evolução da capacidade e a redução de custos dos computadores, as aplicações do método se expandiram e se tornaram cada vez mais precisas e sofisticadas.

Fig 01

De início era usado quase sempre no cálculo de estruturas de engenharia e atualmente é aplicado em áreas diversas como transferência de calor, escoamento de fluidos, eletromagnetismo e muitas outras.

Uma breve analogia para o método pode ser vista na Figura 01: supõe-se que se deseja determinar a relação entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, isto é, o número π. No desenvolvimento matemático tradicional, chega-se a uma série de infinitos termos e o número π pode ser calculado com a quantidade de casas decimais que for necessária.

Um meio mais compatível com processos computacionais pode ser visto em (b) da figura: a circunferência é considerada uma sucessão de elementos, isto é, de segmentos de reta de mesmo comprimento formando um polígono regular. O comprimento total desses elementos é uma aproximação para o perímetro, aproximação esta tanto melhor quanto maior o número de elementos.

Notar que esse método pode ser aplicado ao cálculo do comprimento de uma curva genérica dada por uma sucessão de pontos, ao passo que o processo contínuo tradicional exige o conhecimento da sua função matemática, o que nem sempre é possível ou fácil em muitos casos práticos.

Exemplo

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A treliça isostática da Figura 01 é usada como exemplo simples de aplicação do método. Deseja-se obter o deslocamento das barras em função da carga W aplicada.

Fig 01

Os elementos da análise são as barras da treliça (12, 23 e 31) e as articulações (1, 2 e 3) são os nós.

Os elementos 12 e 23 têm comprimento L e seção transversal S. O elemento 31 tem comprimento L √2 (deduzido das relações do triângulo retângulo) e seção transversal S √2 (assim suposto para facilitar cálculos).

As barras da treliça trabalham supostamente na região elástica do material. Assim, a relação entre força e deformação é dada por:

F = (S E / L) d #A.1#. Onde:

F: força aplicada.

S: área da seção transversal.
E: módulo de elasticidade do material.
L: comprimento da barra.
d: deformação longitudinal.

Fig 02

Para um elemento genérico de comprimento L conforme ab da Figura 02, se a extremidade b é mantida fixa,

F_a = (S E / L) d_a #B.1# e também F_b = −(S E / L) d_a #B.2#.

Se a extremidade a é mantida fixa,

F_a = −(S E / L) d_b #C.1# e também F_b = (S E / L) d_b #C.2#.

Combinando as relações acima,

F_a = (S E / L) (d_a − d_b) #D.1#.

F_b = (S E / L) (−d_a + d_b) #D.2#.

As igualdades #D.1# e #D.2# podem ser representadas em forma de produto de matrizes conforme quadro #D.3# e simbolizadas como


Transformação de coordenadas: para estabelecer relações entre diferentes elementos, é conveniente que forças e deslocamentos sejam referidos ao mesmo sistema de coordenadas, ou seja, ao sistema global de coordenadas (xy da Figura 02).


Em notação compacta, essa relação pode ser escrita F = T_F F' #E.4#. Onde:

F: matriz das forças em coordenadas globais.
T_F: matriz de transformação.
F': matriz das forças em coordenadas locais.


d: matriz de deslocamentos em coordenadas globais.

Combinando #E.4# com #D.4#, F = T_F F' = T_F k' d'. Usando o valor de d' dado por #F.2#,


A Figura 03 indica as forças e deslocamentos para os nós da treliça em estudo.

Fig 03

Os cálculos podem ser simplificados com uma escolha conveniente da origem do sistema global de coordenadas. Neste caso, o nó 2 é a opção óbvia.

Seguem os ângulos de inclinação (α da Figura 02) para cada elemento.

Elemento 12: α = 0° (cos α = 1 e sen α = 0).
Elemento 23: α = 90° (cos α = 0 e sen α = 1).
Elemento 31: α = 135° (cos α = √2/2 e sen α = √2/2).

Usando esses valores na matriz #G.3#, obtêm-se os produtos de matrizes para cada elemento conforme quadros a seguir.





A formulação anterior não é, por si, suficiente para a solução do problema. É preciso considerar as condições de contorno conforme quadro seguinte.


A relação acima pode ser simplificada para #I.3# abaixo.