Relação entre tensões

Topo | Fim

Em página anterior foi vista a relação entre força máxima (F_b), força mínima (F_a), força centrífuga (F_C), coeficiente de atrito (μ) e ângulo de contato (φ) para um conjunto correia e polia:

(F_b - F_C) / (F_a − F_C) = e^μφ #A.1#.

Pode-se substituir F_C por ρ v², onde ρ é a massa por unidade de comprimento do material da correia e v, a velocidade tangencial. Na realidade, essa relação significa uma situação no limite do deslizamento.

Fig 01

Para generalizar, substitui-se o sinal = por ≤ e a equação anterior (com a substituição de F_C) fica

(F_b − ρ v²) / (F_a − ρ v²) ≤ e^μφ #A.2#.

Considerando os demais parâmetros fixos, pode-se dizer que, em princípio, a correia deverá operar com valores de forças máxima e mínima (F_b e F_a) que satisfaçam a essa relação.

Teoricamente poder-se-ia ter, por exemplo, F_a = 0. Mas isso certamente provocaria o deslocamento da correia em relação à polia. Na prática, existem faixas de valores recomendados para a relação entre forças máxima e mínima (F_b/F_a), conforme gráfico na parte esquerda da Figura 01 deste tópico (os dados se referem a ângulos φ menores que 180º porque são para a polia menor, que é a limitante da situação conforme comentado na página anterior).

Obs: desde que a área da seção transversal de uma correia é constante, o valor (F_b/F_a) é igual à relação entre tensões e assim pode ser denominado.

Fig 02

Na prática, a relação entre esforços tem influência em outros parâmetros, que pode ser vista com o exemplo a seguir.

Por simplicidade, considera-se uma transmissão 1:1 e, portanto, com polias iguais e ângulo φ = 180º para ambas.

A figura 02 acima mostra 3 casos (a), (b) e (c), para os quais é suposto o mesmo torque a transmitir τ = 1 kN m. A força R (= F_a + F_b) é oposta à resultante de F_a e F_b e deverá ser a força suportada pelo mancal. Os casos (a) e (b) usam polias de mesmo diâmetro e o caso (d), de um diâmetro menor.

Situação:	(a)	(b)	(c)
D (m)	0,50	0,50	0,25
Fb (kN)	5	10	10
Fa (kN)	1	6	2
Fb/Fa	5	1,67	5
R (kN)	6	16	12

Conforme já visto, o torque a transmitir é dado por

τ = (F_b − F_a) (D/2). Desde que o torque é o mesmo para os três casos, uma vez fixado F_a, há um valor de F_b e um de F_b/F_a. E a tabela deste tópico dá os resultados para valores arbitrados de F_b.

Comparando (a) com (b), observa-se que, para transmitir o mesmo torque com polias de mesmo diâmetro, uma relação de tensões alta e dentro do recomendado (5) é melhor que uma relação baixa (1,67), resultando em menores esforços na correia e nos mancais. Notar entretanto que há limites: por simplicidade despreza-se a parcela da força centrífuga na igualdade #A.2#. Então a relação (F_b/F_a) é limitada por e^μφ, isto é, pelo coeficiente de atrito e pelo ângulo de contato.

Comparando (a) com (c), nota-se que, para transmitir o mesmo torque com a mesma relação de tensões, a polia maior resulta em menores esforços na correia e nos mancais. Na prática, o tamanho das polias é limitado por fatores como custo, espaço ocupado e outros.

Esforços de flexão

Topo | Fim

Até agora tratou-se dos esforços F_b e F_a (máximo e mínimo) atuantes em cada lado da correia (23 e 14 no esquema da parte superior esquerda da Figura 01). Nas partes da correia em contato com as polias, há também forças provocadas pela flexão em torno das mesmas. Isso não invalida os cálculos anteriores para torque e potência porque esses esforços só atuam nas partes em contato com as polias. Assim , o torque transmitido só depende de F_b e F_a. Mas certamente influi na vida útil da correia porque, em determinados intervalos de tempo de cada volta completa, a tração efetiva torna-se maior que F_b.

Notar que essas considerações são aplicáveis a correias trapezoidais, que têm espessura significativa em relação à largura. No caso de correias planas, a espessura é em geral pequena em relação à largura e o efeito pode ser normalmente desprezado.

Supõe-se que o material da correia seja perfeitamente elástico. Isso não é rigorosamente verdadeiro na prática, mas a aproximação é considerada suficiente.

Segundo a Resistência dos Materiais, a tensão máxima transversal em uma barra, inicialmente retilínea e deformada por flexão, é dada por σ = u E / r. Onde E é o módulo de elasticidade do material, r é o raio de curvatura e u é a maior distância entre a linha que passa pelo centro de gravidade da seção e uma borda na direção do raio r.

Fig 01

Para um determinado tipo de correia (material e geometria da seção transversal), pode-se então dizer que a força devido à flexão é proporcional ao inverso do diâmetro:

F_flex = K_el / D #A.1#.

Portanto, K_el é um coeficiente elástico característico da correia, isto é, dependente do seu material e da sua seção transversal.

A Figura 01 exibe o gráfico dos esforços ao longo de uma volta completa da correia.

De 4 a 1, atua a força do lado frouxo F_min (= F_a das fórmulas anteriores). Entre 1 e 2, a força aumenta gradativamente até F_max (= F_b das fórmulas anteriores), mas com a adição da força devido à flexão em torno da polia 1 (K_el/D₁). Entre 2 e 3 não há mais flexão e, portanto, a força é apenas F_max. E, entre 3 e 4, ocorre a adição da força devido à flexão na polia 2 com redução até F_min a partir do ponto 4.

Naturalmente, a força útil (a que transmite o troque) é dada por F_max − F_min ou F_b − F_a das fórmulas anteriores.

Pode-se então definir dois valores de forças equivalentes, correspondentes aos pontos 2 e 3 nas polias 1 e 2 respectivamente, que serão usados na avaliação da vida útil da correia:

Feq1 = Fmax + Kel/D1

Feq2 = Fmax + Kel/D2

#B.1#

Das igualdades #B.1# e #C.1# do tópico Potência transmitida, chega-se a F_max = P/[v(1−e^−μφ)] + ρv², onde P é a potência transmitida, v a velocidade tangencial, μ coeficiente de atrito, φ ângulo de contato e ρ é a massa por comprimento. Substituindo nas anteriores,

Feq1 = P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D1

Feq2 = P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D2

#C.1#

Falha por fadiga

Topo | Fim

Do diagrama do tópico anterior, conclui-se que os esforços atuantes em uma correia em operação são cíclicos, atingindo os picos F_eq1 e F_eq2 em cada período. Isso significa (e a prática demonstra) que uma correia tende à ruptura por fadiga do material.

Considera-se uma variação exponencial para a falha:

N(F) = (K / F)^m #A.1#. Onde:

N(F): número de ciclos até a ruptura sob ação de uma carga repetitiva F.
F: valor da carga repetitiva.
K, m: constantes da correia (K deve ter unidade de força e m é um número adimensional).

Considera-se também que as cargas atuantes são os valores de pico F_eq1 e F_eq2 vistos no tópico anterior. Notar que não se pode simplesmente somar esses valores e aplicar na fórmula dada porque eles atuam em pontos distintos do ciclo. Sejam então os valores:

N₁₂: número de ciclos até a ruptura pela ação combinada de F_eq1 e F_eq2.
N₁ = (K /F_eq1)^m. Número de ciclos até a falha pela ação isolada de F_eq1.
N₂ = (K /F_eq2)^m. Número de ciclos até a falha pela ação isolada de F_eq2.

A relação entre esses valores é dada pela regra de Miner, que tem a seguinte expressão para este caso

N₁₂/N₁ + N₁₂/N₂ = 1. Ou N₁₂ [ 1 / (K /F_eq1)^m + 1 / (K /F_eq2)^m ] = ( N₁₂ / K^m ) [ F_eq1^m + F_eq1^m ] = 1.

O tempo de um ciclo é L/v, onde L é o comprimento da correia e v, a velocidade tangencial. Assim, o tempo de vida útil da correia (T_u) antes da ruptura por fadiga é dado por T_u = N₁₂ L/v. Ou N₁₂ = T_u v / L.

Substituindo esse valor, [ F_eq1^m + F_eq1^m ] = K^m L / (v T_u). E, com as igualdades do tópico anterior para as forças equivalentes, obtém-se a equação da vida útil da correia antes da ruptura por fadiga

{ P/[v(1-e^−μφ)] + ρv² + K_el/D₁ }^m + { P/[v(1-e^−μφ)] + ρv² + K_el/D₂ }^m = K^m L / (v T_u) #A.1#.

Nas expressões entre chaves do lado esquerdo da igualdade, pode-se considerar a parcela P/[v(1−e^−μφ)] uma medida da efetividade (não é eficiência) do conjunto. Ela representa a parte da vida útil efetivamente usada na transmissão de potência. As demais parcelas são decorrentes da força centrífuga e da flexão. Se essas são significativas, a efetividade é baixa, isto é, boa parte da vida útil não á consumida pela transmissão de potência.