Potência transmitida

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Do tópico Relações básicas, a igualdade para a potência é P = (ω D / 2) (F_b − F_a).

Do tópico Relações básicas de atrito, (F_b − S m_e r² ω²) / (F_a − S m_e r² ω²) = e^μφ. Para simplificar, pode-se considerar o termo

S m_e r² ω² igual à parcela de força centrífuga F_C. Assim,

(F_b - F_C) / (F_a − F_C) = e^μφ #A.1#.

Na primeira igualdade, somando e subtraindo F_C,

P = (ω D / 2) [ (F_b − F_C) − (F_a - F_C) ] = (ω D / 2) (F_b − F_C) [1 - (F_a − F_C)/(F_b − F_C)]. Combinando com a anterior,

P = (ω D / 2) (F_b − F_C) (1 − e^−μφ) onde F_C = S m_e r² ω² #B.1#.

A tabela a seguir dá um resumo dos parâmetros, lembrando que a fórmula é válida para correias de seção retangular (também denominadas correias planas).

ω: velocidade angular da polia	D: diâmetro da polia
Fb: tração no lado mais tenso da correia	μ: coeficiente de atrito entre polia e correia
φ: ângulo de contato da correia com a polia	S: área da seção transversal da correia
me: massa específica do material da correia	r: raio da polia (= D/2)

Notar que o produto S m_e na fórmula da força centrífuga equivale à massa por unidade de comprimento da correia, que é simbolizado por ρ. Algumas vezes é denominada densidade linear. Portanto,

F_C = S m_e r² ω² = ρ r² ω² = ρ v² #C.1#.

Onde ρ = S m_e conforme mencionado e v é a velocidade tangencial ( = ω r conforme relação básica do movimento circular uniforme).

Exemplo de cálculo: seja uma transmissão comum de correia plana, com a polia menor na condição motora conforme Figura 01 abaixo. O material da correia tem massa específica 1500 kg/m³ e a seção transversal da mesma é 500 mm². Portanto, a densidade linear é ρ = 500 10⁻⁶ 1500 = 0,75 kg/m.

Fig 01

A polia tem diâmetro 10 cm e gira com 1800 rpm. Portanto,

D = 0,1 m e raio r = D/2 = 0,05 m.

ω = 1800 π / 30 ≈ 188,5 rad/s.

Velocidade tangencial v = ω r ≈ 188,5 0,05 = 9,425 m/s.

Com esses dados, a força centrífuga pode ser calculada F_C = 0,75 9,425² ≈ 66,6 N.

Supõe-se que o ângulo de contato é φ = 165º = 165 π / 180 ≈ 2,88 rad e que o coeficiente de atrito entre os materiais da polia e da correia é μ = 0,35. Considera-se também que a força máxima de tração admissível na correia é F_b = 600 N. É possível então determinar a potência máxima que pode ser transmitida conforme #B.1#:

P = (188,5 0,1/2) (600 − 66,6) (1 − e^{−0,35 2,88}) = 9,425 533,4 0,635 ≈ 3,19 kW.

Da igualdade #A.1#, (600 − 66,6) / (F_a − 66,6) = e^{0,35 2,88} ≈ 2,74. Assim, F_a ≈ 194,67 + 66,6 ≈ 261 N.

E a força para a tensão inicial da correia pode ser dada pela igualdade #B.1# do tópico Relações básicas:

F_a + F_b = 2 F. Ou F = (F_a + F_b) / 2 = (261 + 600) / 2 = 430,5 N.

Potência versus velocidade

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Na igualdade #B.1# do tópico anterior, a expressão (ω D / 2) é a velocidade tangencial v = ω r. E a força F_C é dada por ρ v² conforme visto no mesmo tópico.

Fig 01

Pode-se então escrever a relação entre potência transmitida e velocidade tangencial:

P = v (F_b − ρ v²) (1 − e^−μφ) #A.1#.

Considerando os demais parâmetros constantes, pode-se traçar um gráfico da potência transmitida em relação à velocidade. A Figura 01 dá a curva para os valores do exemplo do tópico anterior.

Acima de uma determinada velocidade, o efeito da força centrífuga é predominante e a potência transmitida diminui.

Matematicamente, a velocidade v_pmax correspondente à máxima potência transmitida é dada pela derivada nula da potência. Reagrupando a igualdade anterior, P = (v F_b − ρ v³) (1 − e^−μφ). Assim, dP/dv = (F_b − 3 ρ v²) (1 − e^−μφ) = 0.

Desde que (1 − e^−μφ) não é nulo, deve-se ter (F_b − 3 ρ v²) = 0. Portanto, v_pmax = √ [ F_b / (3ρ) ] #B.1#.

Dessa igualdade, F_b = 3 ρ v_pmax². Substituindo em #A.1#, o resultado é a fórmula da potência máxima

P_max = 2 ρ v_pmax³ (1 − e^−μφ) #C.1#.

Exemplo de cálculo: para o exemplo do tópico anterior, temos

v_pmax = √ (600 / (3 0,75) ) ≈ 16,3 m/s e P_max = 2 0,75 16,3³ 0,635 ≈ 4,1 kW.

Atrito para correia de seção trapezoidal

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A correia de seção trapezoidal (ou simplesmente correia em V) é provavelmente o tipo mais usado na prática. A Figura 01 abaixo dá o esquema da ação das forças de atrito para uma seção de ângulo 2β entre faces (β entre uma face e a vertical).

Fig 01

Na determinação das relações de atrito vista na página anterior, consideram-se, entre outras, a ação de uma força normal F_N sobre uma porção elementar da correia.

Desde que, na correia trapezoidal, o atrito ocorre na lateral, conclui-se, por relação trigonométrica simples, que a força normal atuante em cada lateral é

F_N / (2 sen β). E, para as duas faces, F_N / sen β.

No desenvolvimento das Relações básicas de atrito (#C.2#) substituiu-se F_N por esse valor: dF = μ F_N / sen β. Sem considerar a ação da força centrífuga, chega-se a

F_b / F_a = e^{(μ/sen β)φ} #A.1#.

Comparando com a fórmula para correia plana sem considerar força centrífuga, F_b / F_a = e^μφ, pode-se concluir que, para efeitos de atrito e considerando os mesmos materiais, a correia trapezoidal equivale à correia plana com coeficiente de atrito dado por

μ' = (μ / sen β) #B.1#.

Desde que sen β é menor que um, μ' > μ e isso justifica a preferência por correia trapezoidal na maioria das aplicações práticas.

Aspectos geométricos

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A Figura 01 abaixo mostra o esquema comum de uma transmissão com duas polias de raios r₁ e r₂ e distantes C entre centros. Naturalmente, os diâmetros são D₁ = 2 r₁ e D₂ = 2 r₂.

Fig 01

O ângulo γ é dado por

sen γ = (r₁ − r₂) / C #A.1#.

O comprimento exato L da correia é calculado por

L = π D₁ + 2 r₁ γ + 2 C cos γ + π D₂ − 2 r₂ γ.

L = π (D₁ + D₂) + 2 (r₁ − r₂) γ + 2 C cos γ.

Substituindo (r₁ − r₂) por C sen γ conforme #A.1#,

L = π (D₁ + D₂) + 2 C (γ sen γ + cos γ) #B.1#.

Essa equação permite a determinação do comprimento da correia em função dos diâmetros das polias e distância entre centros. Se se deseja saber C para determinados diâmetros e comprimento L, deve-se usar um processo iterativo.

Fig 02

Uma fórmula aproximada também pode ser usada:

C ≈ { √ [ a² − 2( D₁ − D₂ )² ] + a } / 4 #C.1#.

Onde a = L − π (D₁ + D₂) / 2 #C.2#.

E os ângulos de contato são dados por φ₁ = π + 2 γ e φ₂ = π − 2 γ #D.1#.

Em tópicos anteriores, foi dado que a potência transmitida é função do ângulo de contato. Portanto, no conjunto, ela fica limitada pelo ângulo da polia menor (φ₂).

Uma recomendação prática para correias é operar, sempre que possível, com o lado mais tenso na parte inferior conforme (a) da Figura 02. Com o uso, o comprimento tende a aumentar e, na posição contrária como em (b) da figura, o ângulo de contato é reduzido, o que favorece o deslizamento.

A distância C entre centros da polia é em geral definida pelo projeto do equipamento. Mas, se for possível, deve ser mantida próxima de 2D₂ √ (D₁/D₂ + 1). Valores menores que D₁ devem ser evitados. Outro critério encontrado em literatura é:

(D₁ + D₂)/2 + D₂ para (D₁/D₂) < 3 e D₁ para (D₁/D₂) ≥ 3.