Introdução

Topo | Fim

Correias e polias são um dos meios mais antigos de transmissão de movimentos. São simples, o custo é baixo, a durabilidade é boa se adequadamente dimensionadas, reduzem significativamente a propagação de choques e vibrações, operam silenciosamente, limitam sobrecargas pela ação do deslizamento.

Por essas e outras particularidades, são extensivamente empregadas. De pequenos aparelhos eletrônicos até um sem número de equipamentos industriais.

Esta página procura dar informações teóricas e práticas sobre este tipo de transmissão, considerando apenas correias lisas, isto é, as que operam devido às forças de atrito com os materiais das polias (há também as correias dentadas, que operam por arraste de forma similar às correntes).

Relações básicas

Topo | Fim

A Figura 01 deste tópico dá o arranjo típico de um acionamento comum por correia.

A polia 1 tem diâmetro D₁ e gira com velocidade angular ω₁. E a polia 2 tem diâmetro D₂ e gira com velocidade angular ω₂.

Desde que a correia é supostamente inextensível, a velocidade tangencial v é a mesma em qualquer ponto. Da relação entre velocidade tangencial e angular (v = ωR) do movimento circular,

Fig 01

v = ω₁ D₁/2 = ω₂ D₂/2. Simplificando, obtém-se a relação básica de velocidades angulares:

ω₁ / ω₂ = D₂ / D₁ #A.1#.

Em algumas referências, é comum expressar a velocidade angular em termos de rotação por minuto (rpm), simbolizada por n, em vez de radiano por segundo, que é a unidade básica do Sistema Internacional. Lembrar a relação rpm = (π / 30) rad/s. Mas a fórmula anterior é, naturalmente, a mesma. Ocorre apenas uma mudança de símbolos:

n₁ / n₂ = D₂ / D₁ #A.2#.

Desde que o movimento se transmite pela ação de forças de atrito, a correia deve estar previamente tracionada. Na prática isso é feito com auxílio de parafusos, molas, contrapesos ou outros meios. Na situação estática, ocorre então a mesma força de tração em ambos os lados F_a = F_b = F.

Supõe-se agora que o conjunto está em movimento e que a polia 2 é a motora e a polia 1 é a acionada. Se uma potência é transmitida, a polia 1 oferece resistência ao giro e, no sentido de rotação da figura, a força de tração inferior F_b aumenta e superior F_a diminui. Mas, de qualquer forma e considerando que a parte superior se mantém tracionada, a soma permanece constante, ou seja,

F_a + F_b = 2 F = constante #B.1#.

Das relações da Dinâmica, a potência transmitida em um movimento circular é o produto do torque pela velocidade angular

P = τ ω. Considerando uma polia genérica, o torque é τ = (F_b − F_a) D / 2. Combinando as igualdades, obtém-se a potência transmitida:

P = (ω D / 2) (F_b − F_a) #C.1#.

O comprimento da correia do arranjo da Figura 01 pode ser calculado por uma fórmula aproximada (a dedução é simples e aqui não é dada):

L ≈ 2 C + 1,57 (D₂ + D₁) + (D₂ − D₁)² / (4 C) #D.1#.

Relações básicas de atrito

Topo | Fim

Na Figura 01 abaixo, é representada uma porção infinitesimal, limitada pelo ângulo dφ na polia, de uma correia, supostamente de seção retangular de espessura pequena em relação às demais dimensões. As forças atuantes nessa porção de correia são:

• F e F + dF (tração da correia).
• F_N (força normal exercida devido ao contato com a polia).
• F_C (força centrífuga devido à rotação).

Calcula-se agora a resultante das forças no sentido tangencial (horizontal na figura), que é denominada R_x.

Fig 01

R_x = (F + dF)_x − F_x.

Consideram-se as relações trigonométricas:

(F + dF)_x = (F + dF) cos (dφ/2).

F_x = F cos(dφ/2).

Sendo dφ um ângulo infinitesimal, o co-seno de (dφ/2) é aproximado para a unidade. Com isso, chega-se facilmente a

R_x = dF #A.1#.

No sentido radial (vertical na figura), a resultante deve ser nula porque não há movimento ao longo do mesmo.

Portanto R_y = F_N + F_C − F_y − (F + dF)_y = 0. E valem as relações trigonométricas

F_y = F sen (dφ/2) e (F + dF)_y = (F + dF) sen (dφ/2). Desde que φ é pequeno, pode-se supor sen (dφ/2) = dφ/2.
F_y = F dφ/2.

(F + dF)_y = (F + dF) (dφ/2) = F dφ/2 + dF dφ/2 = F dφ/2 (porque o produto das duas infinitesimais é desprezado). Substituindo na anterior,

F_N + F_C − F dφ = 0 ou F_N = F dφ − F_C #B.1#.

Calcula-se agora o valor de F_C (é usado o conceito de força centrífuga porque a referência é a polia). Nas relações da dinâmica, pode ser visto que a intensidade é a mesma da força centrípeta de uma massa m em movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular ω:

F_C = m ω² r.

Considerando S a área da seção transversal da correis e m_e a massa específica do material da mesma, vale para a porção infinitesimal conforme Figura 01: m = m_e S r dφ. Portanto,

F_C = S m_e r² ω² dφ #C.1#.

Fig 03

De acordo com os conceitos de forças de atrito, a força tangencial R_x deve ser igual ao produto da força normal F_N pelo coeficiente de atrito entre a correia e a polia (μ): R_x = μ F_N. Combinando essa igualdade com as anteriores (#A.1#, #B.1# e #C.1#),

R_x = dF = μ F_N = μ F dφ − μ S m_e r² ω² dφ #C.2#.

dF / (F − S m_e r² ω²) = μ dφ. Essa equação diferencial pode ser facilmente resolvida para um intervalo genérico φ conforme Figura 02. O resultado é

(F_b − S m_e r² ω²) / (F_a − S m_e r² ω²) = e^μφ #D.1#.

Fig 03

Portanto, essa equação representa, considerando os demais parâmetros constantes, a relação máxima entre as forças F_b e F_a que a correia pode operar sem deslizamento.

Notar que, numa transmissão comum de correia e duas polias com o mesmo coeficiente de atrito, o deslizamento (se ocorrer) começa sempre pela polia menor porque o ângulo φ é menor. Isso pode ser facilmente observado na prática.

Se é desprezada a força centrífuga ou a situação é estática (ω = 0), a equação anterior fica simplificada:

F_b / F_a = e^μφ #E.1#.

E a fórmula também pode ser aplicada a cordas ou cabos em torno de cilindros ou tambores. Desde que a relação entre forças aumenta exponencialmente com o ângulo, no caso de várias voltas conforme esquema da Figura 03, a diferença entre elas é grande, o que pode ser na prática observado em amarras de barcos e em situações similares.