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Vibrações mecânicas I-40



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Vibrações forçadas: formulação básica

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Em muitos casos práticos, vibrações são transmitidas de um sistema para outro através de elementos construtivos como acoplamentos, estruturas, apoios, etc. Nas página anteriores, foi dado o conceito básico de um conjunto elástico que oscila na sua freqüência natural (ou de ressonância). No caso de vibração forçada, o sistema é levado a oscilar em freqüência não necessariamente igual à de ressonância.

A Figura 01 exibe o conjunto básico massa-mola de páginas anteriores. A diferença é a aplicação de uma força externa periódica O, cuja intensidade representa um movimento harmônico simples:

O = Om sen ωt.

Onde Om é o valor máximo ou amplitude conforme já visto.

Esquema de vibrações forçadas
Figura 01
De forma similar, aplica-se a segunda lei de Newton para resultante das forças no corpo:

O sen ωt + P − k(e + x) = m a = m  d2x
dt2

Em #A.1# do tópico Conjunto massa-mola foi dado que o peso próprio é P = k e. Substituindo,

d2x  + k x = Om sen ωt  #A.1#.
dt2


Essa hipótese representa uma situação real em que a força é aplicada diretamente no corpo oscilante. Exemplo: um motor suspenso em molas, que tem o eixo desbalanceado ou que aciona uma peça excêntrica.

Outra situação possível é a aplicação de um movimento alternativo na mola conforme Figura 02. Considera-se um movimento harmônico simples, fornecido por um disco que gira com uma velocidade angular constante ω e um sistema de pino e guia conforme figura.

Exemplo prático de vibrações forçadas
Figura 02
Assim, em um instante genérico t, dado em (c) da figura, a deformação da mola pode ser indicada por:

e + x − R sen ωt.

Aplicando a segunda lei de Newton para a resultante,

P − k (e + x − R sen ωt) = m a = m  d2x
dt2

Considerando que P = k e, a substituição resulta em:

d2x  + k x = k R sen ωt  #B.1#.
dt2


Essa equação é a mesma anterior (#A.1#) com Om = k R.

Portanto, pode-se dizer que as situações das Figuras 01 e 02 são equivalentes. O desenvolvimento da solução para a equação diferencial não é apresentado aqui. O resultado é:

x = A sen ωnt + B cos ωnt + C sen ωt  #C.1#. Onde:

ωn = √( k (conforme #C.1# do tópico Conjunto massa-mola).
m

C =  (Om/k)   #D.1#.
1 − (ω/ωn)2

Fator de multiplicação do movimento em função da velocidade angular
Figura 03
Notar que a igualdade #C.1# equivale à soma de dois movimentos harmônicos:

A sen ωnt + B cos ωnt, que é o movimento na freqüência de ressonância do conjunto massa-mola, fR = 2 π / ωn, conforme visto em página anterior. As constantes A e B são definidas pelas condições iniciais do movimento, segundo considerações na mesma página.

C sen ωt, que é um movimento na mesma freqüência (f = ω / 2 π) do movimento aplicado.

Desde que (Om/k) = R é a amplitude máxima do movimento aplicado e C, a amplitude do mesmo movimento no conjunto, pode-se definir uma relação entre ambos:

β =  C  =  (Om/k) / [1 − (ω/ωn)2]  =  1   #E.1#
Om/k Om/k 1 − (ω/ωn)2

Portanto β pode ser entendido como um fator de multiplicação do movimento. A Figura 03 mostra um gráfico aproximado de β em relação a ω/ωn.

Observar que, se o movimento aplicado tem freqüência igual à de ressonância do conjunto (ω = ωn), a amplitude da oscilação é teoricamente infinita. É evidente que isso não ocorre na prática, pois os atritos internos e externos e as dimensões finitas limitam a amplitude.

De qualquer forma, na ressonância há máxima transferência de energia e isso pode provocar falhas ou mesmo colapso de estruturas. É bem conhecida aquela regra militar que proíbe tropas marcharem de forma cadenciada sobre pontes, que são em geral estruturas de grande massa e, conseqüentemente, de baixa freqüência de ressonância. Ver as relações ωn = √ (k/m) e f = ωn/2 π. Ela pode, portanto, estar próxima da cadência dos passos e um dano ou acidente é possível.



Oscilações amortecidas forçadas

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Se, em um dos sistemas forçados do tópico anterior, é acrescentado um elemento amortecedor (Figura 01), pode-se usar procedimento similar ao apresentado em página anterior. É considerada uma força atuante D = c v, onde c é o coeficiente de amortecimento e v, a velocidade (dx/dt).

Assim, uma das equações iniciais dadas no tópico anterior (#A.1# por exemplo) fica:

Exemplo mecânico de oscilações amortecidas forçadas
Figura 01
d2x  + c  dx  + k x  = Om sen ωt  #A.1#.
dt2 dt

O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. Pode-se chegar a uma solução do tipo:

x = C sen (ωt − φ)  #B.1#. Onde:

C =  Om   #C.1#.
[(k − mω2)2 + (c ω)2]1/2

tan φ =  c ω   #D.1#.
k − m ω2


Considerando que o deslocamento máximo do movimento aplicado é R = Om/k (tópico anterior) e c0 = 2 m ωn (coeficiente de amortecimento crítico. Ver página anterior), pode-se obter uma relação entre a amplitude do movimento aplicado e a amplitude do mesmo movimento no sistema:

Amplitudes de oscilações forçadas e coeficientes de amortecimento
Figura 02
β =  C  =  C
R (Om/k)

Isso significa uma comparação das amplitudes de forma similar à do tópico anterior.

β =  1  #E.1#
√{[1 − (ω/ωn)2]2 + [2(c/c0) (ω/ωn)]2}


tan φ =  2 (c/c0) (ω/ωn)  #F.1#.
1 − (ω/ωn)2

A Figura 02 mostra as curvas aproximadas de ß em relação a ω para várias relações c/c0. Se c/c0 = 0, isto é, c = 0, não há amortecimento e a curva é semelhante à do tópico anterior (com exceção do sinal, pois aqui há uma raiz quadrada). À medida que c aumenta, a amplitude diminui. Isso significa que um maior amortecimento reduz a amplitude das oscilações forçadas. A redução também se consegue com freqüências distantes da ressonância do conjunto.



Analogia elétrica

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No tópico Oscilações livres amortecidas foi dada a equivalência elétrica do movimento. A seguir, é repetida a tabela do citado tópico para as equivalências entre grandezas mecânicas e elétricas.

Nos sistemas mecânicos dos tópicos anteriores desta página, considera-se a aplicação de um movimento harmônico externo. Na analogia elétrica, é lógico supor a aplicação de uma tensão senoidal Vm sen ωt no circuito conforme Figura 01.

Sistema mecânico Circuito elétrico
x deslocamento Q carga elétrica
m massa L indutância
k constante da mola 1/C inverso de capacitância
v velocidade i corrente elétrica
F força V tensão elétrica
c coef de amortecimento R resistência elétrica
No sistema mecânico, a velocidade tangencial é igual ao deslocamento multiplicado pela velocidade angular, v = ω x. Assim, se a igualdade #B.1#do tópico Oscilações amortecidas forçadas for multiplicada por ω, o resultado é a velocidade

v = C ω sen (ωt − φ).

Na analogia elétrica, velocidade equivale a corrente. Assim o produto C ω deve ser a corrente máxima no circuito. Pode-se usar esse produto com valor de C dado em #C.1# do citado tópico e substituir as grandezas pelas correspondentes elétricas.

Circuito RLC forçado
Figura 01
im = C ω =  ω Om
[(k − m ω2)2 + (c ω)2]1/2

im ω Vm
[(1/C − Lω2)2 + (Rω)2]1/2

im Vm  =  Vm
[ (1/ωC − ωL)2 + R2]1/2 Z


Z é denominado impedância do circuito. Mais informações sobre circuitos elétricos na série Eletricidade e eletromagnetismo deste site.



Exemplo de aplicação

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Seja, conforme Figura 01 (a), um motor montado sobre uma base apoiada por 4 molas. Os pinos de guia no interior das molas restringem o movimento vibratório do conjunto, isto é, ele só pode ser vertical. Consideram-se os seguintes valores hipotéticos:

Exemplo de cálculo de vibração mecânica
Figura 01
• o conjunto motor e base tem uma massa de 200 kg.

• o motor gira com velocidade angular constante de 1800 rpm.

• o desbalanceamento do motor é equivalente à rotação, na mesma velocidade angular, de uma massa de 40 g situada a 10 cm do eixo de rotação.

• cada mola tem uma constante de 100 000 N/m.

Determinar a amplitude de vibração do conjunto bem como a rotação na qual a ressonância ocorre, supondo que as forças se distribuem igualmente pelas 4 molas.

Em unidades SI, a velocidade angular do motor é ω ≈ 188,5 rad/s. Conforme Figura 01 (b), a rotação de uma massa m (= 40 g = 0,04 kg) com um raio R (= 10 cm = 0,1 m) produz uma força centrífuga Fc e a projeção sobre o eixo vertical (onde o movimento é permitido) é igual a Fc sen ωt, ou seja, um movimento harmônico simples.

O cálculo de Fc é dado pela relação da Dinâmica: Fc = m ω2 R. Assim,

Fc = 0,04 188,52 0,1 ≈ 142,1 N.

Conforme tópico Molas em paralelo e em série, as 4 molas em paralelo têm uma constante equivalente a

k = 4 . 100 000 = 400 000 N/m.

A velocidade angular natural de vibração do conjunto é dada por ωn = √ (k/m), segundo igualdade #C.1# do tópico Conjunto massa-mola).

ωn = √ [400 000 (N/m) / 200 kg] ≈ 44,7 rad/s. Corresponde, portanto, a uma rotação de ≈ 427 rpm.

Pode-se notar que o conjunto equivale à situação de vibração forçada em Vibrações forçadas: formulação básica, Figura 01 (c). E, usando a igualdade #D.1# desse tópico,

C =  Om/k  =  142,1 / 400 000  ≈  0,00036  ≈ 0,000021 m = 0,021 mm
1 − (ω/ωn)2 1 − (188,5/44,7)2 1 − 17,8


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