|
|||
Vibrações forçadas: formulação básica
| Topo pág | Fim pág |Em muitos casos práticos, vibrações são transmitidas de um sistema para outro através de elementos construtivos como acoplamentos, estruturas, apoios, etc. Nas página anteriores, foi dado o conceito básico de um conjunto elástico que oscila na sua freqüência natural (ou de ressonância). No caso de vibração forçada, o sistema é levado a oscilar em freqüência não necessariamente igual à de ressonância.
A Figura 01 exibe o conjunto básico massa-mola de páginas anteriores. A diferença é a aplicação de uma força externa periódica O, cuja intensidade representa um movimento harmônico simples:
O = Om sen ωt.Onde Om é o valor máximo ou amplitude conforme já visto.
|
| Figura 01 |
| O sen ωt + P − k(e + x) = m a = m | d2x |
| dt2 |
Em #A.1# do tópico Conjunto massa-mola foi dado que o peso próprio é
P = k e. Substituindo,| m | d2x | + k x = Om sen ωt | #A.1#. |
| dt2 |
Essa hipótese representa uma situação real em que a força é aplicada diretamente no corpo oscilante. Exemplo: um motor suspenso em molas, que tem o eixo desbalanceado ou que aciona uma peça excêntrica.
Outra situação possível é a aplicação de um movimento alternativo na mola conforme Figura 02. Considera-se um movimento harmônico simples, fornecido por um disco que gira com uma velocidade angular constante ω e um sistema de pino e guia conforme figura.
|
| Figura 02 |
e + x − R sen ωt.Aplicando a segunda lei de Newton para a resultante,
| P − k (e + x − R sen ωt) = m a = m | d2x |
| dt2 |
Considerando que P = k e, a substituição resulta em:
| m | d2x | + k x = k R sen ωt | #B.1#. |
| dt2 |
Essa equação é a mesma anterior (#A.1#) com
Om = k R.Portanto, pode-se dizer que as situações das Figuras 01 e 02 são equivalentes. O desenvolvimento da solução para a equação diferencial não é apresentado aqui. O resultado é:
x = A sen ωnt + B cos ωnt + C sen ωt #C.1#. Onde:| ωn = √( | k | ) | (conforme #C.1# do tópico Conjunto massa-mola). |
| m |
| C = | (Om/k) | #D.1#. | |
| 1 − (ω/ωn)2 |
|
| Figura 03 |
•
A sen ωnt + B cos ωnt, que é o movimento na freqüência de ressonância do conjunto massa-mola, fR = 2 π / ωn, conforme visto em página anterior. As constantes A e B são definidas pelas condições iniciais do movimento, segundo considerações na mesma página.•
C sen ωt, que é um movimento na mesma freqüência (f = ω / 2 π) do movimento aplicado.
Desde que
(Om/k) = R é a amplitude máxima do movimento aplicado e C, a amplitude do mesmo movimento no conjunto, pode-se definir uma relação entre ambos:| β = | C | = | (Om/k) / [1 − (ω/ωn)2] | = | 1 | #E.1# | |
| Om/k | Om/k | 1 − (ω/ωn)2 |
Portanto β pode ser entendido como um fator de multiplicação do movimento. A Figura 03 mostra um gráfico aproximado de β em relação a ω/ωn.
Observar que, se o movimento aplicado tem freqüência igual à de ressonância do conjunto (ω = ωn), a amplitude da oscilação é teoricamente infinita. É evidente que isso não ocorre na prática, pois os atritos internos e externos e as dimensões finitas limitam a amplitude.
De qualquer forma, na ressonância há máxima transferência de energia e isso pode provocar falhas ou mesmo colapso de estruturas. É bem conhecida aquela regra militar que proíbe tropas marcharem de forma cadenciada sobre pontes, que são em geral estruturas de grande massa e, conseqüentemente, de baixa freqüência de ressonância. Ver as relações
ωn = √ (k/m) e f = ωn/2 π. Ela pode, portanto, estar próxima da cadência dos passos e um dano ou acidente é possível.Oscilações amortecidas forçadas
| Topo pág | Fim pág |Se, em um dos sistemas forçados do tópico anterior, é acrescentado um elemento amortecedor (Figura 01), pode-se usar procedimento similar ao apresentado em página anterior. É considerada uma força atuante
D = c v, onde c é o coeficiente de amortecimento e v, a velocidade (dx/dt).Assim, uma das equações iniciais dadas no tópico anterior (#A.1# por exemplo) fica:
|
| Figura 01 |
| m | d2x | + c | dx | + k x | = Om sen ωt | #A.1#. |
| dt2 | dt |
O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. Pode-se chegar a uma solução do tipo:
x = C sen (ωt − φ) #B.1#. Onde:| C = | Om | #C.1#. | |
| [(k − mω2)2 + (c ω)2]1/2 |
| tan φ = | c ω | #D.1#. | |
| k − m ω2 |
Considerando que o deslocamento máximo do movimento aplicado é
R = Om/k (tópico anterior) e c0 = 2 m ωn (coeficiente de amortecimento crítico. Ver página anterior), pode-se obter uma relação entre a amplitude do movimento aplicado e a amplitude do mesmo movimento no sistema:
|
| Figura 02 |
| β = | C | = | C |
| R | (Om/k) |
Isso significa uma comparação das amplitudes de forma similar à do tópico anterior.
| β = | 1 | #E.1# |
| √{[1 − (ω/ωn)2]2 + [2(c/c0) (ω/ωn)]2} |
| tan φ = | 2 (c/c0) (ω/ωn) | #F.1#. |
| 1 − (ω/ωn)2 |
A Figura 02 mostra as curvas aproximadas de ß em relação a ω para várias relações
c/c0. Se c/c0 = 0, isto é, c = 0, não há amortecimento e a curva é semelhante à do tópico anterior (com exceção do sinal, pois aqui há uma raiz quadrada). À medida que c aumenta, a amplitude diminui. Isso significa que um maior amortecimento reduz a amplitude das oscilações forçadas. A redução também se consegue com freqüências distantes da ressonância do conjunto.Analogia elétrica
| Topo pág | Fim pág |No tópico Oscilações livres amortecidas foi dada a equivalência elétrica do movimento. A seguir, é repetida a tabela do citado tópico para as equivalências entre grandezas mecânicas e elétricas.
Nos sistemas mecânicos dos tópicos anteriores desta página, considera-se a aplicação de um movimento harmônico externo. Na analogia elétrica, é lógico supor a aplicação de uma tensão senoidal
Vm sen ωt no circuito conforme Figura 01.| Sistema mecânico | Circuito elétrico |
| x deslocamento | Q carga elétrica |
| m massa | L indutância |
| k constante da mola | 1/C inverso de capacitância |
| v velocidade | i corrente elétrica |
| F força | V tensão elétrica |
| c coef de amortecimento | R resistência elétrica |
v = ω x. Assim, se a igualdade #B.1#do tópico Oscilações amortecidas forçadas for multiplicada por ω, o resultado é a velocidadev = C ω sen (ωt − φ).
Na analogia elétrica, velocidade equivale a corrente. Assim o produto
C ω deve ser a corrente máxima no circuito. Pode-se usar esse produto com valor de C dado em #C.1# do citado tópico e substituir as grandezas pelas correspondentes elétricas.
|
| Figura 01 |
| im = C ω = | ω Om |
| [(k − m ω2)2 + (c ω)2]1/2 |
| im = | ω Vm |
| [(1/C − Lω2)2 + (Rω)2]1/2 |
| im = | Vm | = | Vm |
| [ (1/ωC − ωL)2 + R2]1/2 | Z |
Z é denominado impedância do circuito. Mais informações sobre circuitos elétricos na série Eletricidade e eletromagnetismo deste site.
Exemplo de aplicação
| Topo pág | Fim pág |Seja, conforme Figura 01 (a), um motor montado sobre uma base apoiada por 4 molas. Os pinos de guia no interior das molas restringem o movimento vibratório do conjunto, isto é, ele só pode ser vertical. Consideram-se os seguintes valores hipotéticos:
|
| Figura 01 |
• o motor gira com velocidade angular constante de 1800 rpm.
• o desbalanceamento do motor é equivalente à rotação, na mesma velocidade angular, de uma massa de 40 g situada a 10 cm do eixo de rotação.
• cada mola tem uma constante de 100 000 N/m.
Determinar a amplitude de vibração do conjunto bem como a rotação na qual a ressonância ocorre, supondo que as forças se distribuem igualmente pelas 4 molas.
Em unidades SI, a velocidade angular do motor é
ω ≈ 188,5 rad/s. Conforme Figura 01 (b), a rotação de uma massa m (= 40 g = 0,04 kg) com um raio R (= 10 cm = 0,1 m) produz uma força centrífuga Fc e a projeção sobre o eixo vertical (onde o movimento é permitido) é igual a Fc sen ωt, ou seja, um movimento harmônico simples.O cálculo de Fc é dado pela relação da Dinâmica:
Fc = m ω2 R. Assim,Fc = 0,04 188,52 0,1 ≈ 142,1 N.Conforme tópico Molas em paralelo e em série, as 4 molas em paralelo têm uma constante equivalente a
k = 4 . 100 000 = 400 000 N/m.A velocidade angular natural de vibração do conjunto é dada por
ωn = √ (k/m), segundo igualdade #C.1# do tópico Conjunto massa-mola).ωn = √ [400 000 (N/m) / 200 kg] ≈ 44,7 rad/s. Corresponde, portanto, a uma rotação de ≈ 427 rpm.Pode-se notar que o conjunto equivale à situação de vibração forçada em Vibrações forçadas: formulação básica, Figura 01 (c). E, usando a igualdade #D.1# desse tópico,
| C = | Om/k | = | 142,1 / 400 000 | ≈ | 0,00036 | ≈ 0,000021 m = 0,021 mm |
| 1 − (ω/ωn)2 | 1 − (188,5/44,7)2 | 1 − 17,8 |
Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
|
Melhor visto com 1024x768 px © Marco Soares Termos de uso |