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Vibrações mecânicas I-30



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Ressonância

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No sistema massa-mola, a velocidade angular do vetor girante, conforme equação #C.1# do tópico correspondente, é dada por:

ω2 k  ou  ω = √( k #A.1#.  No circuito elétrico,  ω2 1  ou  ω =  1   #A.2#.
m m LC √(LC)

E a freqüência, que equivale a ω/(2 π), é dada por:

f =  √(k/m)  #B.1# para o sistema mecânico.  f =  1  #B.2# para o circuito elétrico.
2 π 2 π √(LC)

Essas fórmulas demonstram que a freqüência depende unicamente de parâmetros do sistema (k e m para o mecânico e L e C para o elétrico). Assim, mantidos esses parâmetros constantes, os sistemas oscilarão sempre nas freqüências dadas pelas fórmulas anteriores, independente das condições iniciais (deslocamento, velocidade inicial ou carga, corrente inicial).

As fórmulas acima indicam, portanto, a freqüência natural de oscilação, normalmente denominada freqüência de ressonância.



Oscilações amortecidas

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As equações para os conjuntos mecânico e elétrico vistas até aqui pressupõem condições ideais, isto é, o sistema mecânico está sob vácuo para evitar ação do ar e não há atrito interno no material da mola. No circuito LC, não há fugas de corrente nem resistência elétrica nos condutores.

Nas condições ideais, as vibrações, uma vez iniciadas, mantém-se indefinidamente. Na prática isso não ocorre e pode ser bem observado num conjunto massa e mola, que pára de oscilar depois de algum tempo. Num circuito elétrico LC, o comportamento só pode ser observado com instrumentos, mas é o mesmo. Isso significa que sempre há um agente de amortecimento presente. No conjunto mecânico, o atrito com ar e, principalmente, o atrito interno do material da mola. No circuito elétrico, resistências dos condutores e fugas de corrente.

Na realidade, em vários casos práticos, um elemento de amortecimento é propositalmente inserido. Em particular, o amortecedor hidráulico é o mais comum, amplamente usado, por exemplo, em suspensões de automóveis. E, neste tópico, considera-se apenas amortecedor desse tipo.

Exemplo para vibrações livres com amortecimento
Figura 01
Um amortecedor hidráulico típico é formado por um cilindro com óleo e um êmbolo com furos, de forma que o escoamento do fluido exerce uma força contrária ao deslocamento. E essa força é proporcional à velocidade.

A Figura 01 (a) representa o conjunto na posição de equilíbrio e (b) indica uma posição genérica do movimento oscilatório. Assim, além das forças F e P, atua sobre o corpo a força D tal que

D = c v  #A.1#. Onde:

c: coeficiente de amortecimento.

v: velocidade.

E a igualdade #A.5# do tópico Conjunto massa-mola pode ser escrita:

R = m a = m  d2x  = − kx − c dx  #A.2#. Rearranjando,
dt2 dt

d2x  + c  dx  + kx = 0  #B.1#. Essa equação diferencial tem solução na forma:
dt2 dt

x = ert  #C.1#.

Considerando que d(ert) / dt = r ert, se substituído x da igualdade #B.1# e eliminado o fator comum ert,

m r2 + c r + k = 0  #D.1#.

Essa é uma equação simples de segundo grau, que tem as soluções:

r = −c/(2m) ± [ (c/2m)2 − k/m ]1/2  #E.1#.

Considera-se c0 o valor de c que faz nula a segunda parcela dessa igualdade, isto é,

(c0/2m)2 − k/m = 0. Reagrupando, c0 = 2 m (k/m)1/2.

Usando a definição ω2 = k / m, vista no tópico Conjunto massa-mola,

c0 = 2 m ω  #F.1#.

E a solução de #B.1# depende do valor de c em relação a c0, com três possibilidades distintas:

Condições teóricas de amortecimento
Figura 02
a) Se c > c0, #E.1# tem duas soluções, r1 e r2, reais e diferentes e a solução de #B.1# é dada por

x = C1 er1t + C2 er2t  #G.1#.

O movimento não é oscilante, com uma curva parecida com a Figura 02 (a) e o sistema é dito superamortecido.


b) Se c = c0, #E.1# tem uma única solução:

r = −c0/(2m) = −ω, e a solução de #B.1# é dada por:

x = (C1 + C2t) e−ωt  #H.1#.

O movimento também não é oscilante, mas chega ao ponto de equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar. Curva aproximada na Figura 02 (b). Essa situação é denominada amortecimento crítico.


c) Se c < c0, #E.1# tem soluções complexas:

r1,2 = −  c  ± βj .
2m

Onde β = [ (k/m) − (c/2m)2 ]1/2 e j é a unidade imaginária (√−1).

Consideram-se as igualdades já vistas,

ω2 = k/m (Conjunto massa-mola)

2m = c0 (#F.1# deste tópico).

Assim, o valor de β pode ser dado por: β = ω [1 − ( c )2 ]1/2  #I.1#.
c0

Então, a solução de #B.1# é: x = e−(c/2m)t (C1 cos βt + C2 sen βt).

A soma de co-seno e seno pode ser simplificada de maneira análoga a #E.2# do tópico Conjunto massa-mola:

x = A e−(c/2m)t sen (βt + φ)  #J.1#.

Por essa equação, pode-se concluir que o sistema oscila, mas a amplitude decresce exponencialmente com o tempo. Curva aproximada na Figura 02 (c). Nessa condição, o sistema é dito subamortecido.

Notar que a velocidade angular é β e não ω e que β < ω. Portanto, a freqüência da oscilação (β/2π) é menor que a freqüência natural do conjunto (ω/2π).

A relação c/c0 da igualdade #I.1# é denominada fator de amortecimento. Notar que, para um sistema não amortecido, c = 0 e, portanto, β = ω.

Circuito RLC
Figura 03
Na analogia elétrica, o conjunto massa, mola e amortecedor hidráulico equivale ao circuito LC do tópico Analogia elétrica: circuito LC acrescido de uma resistência elétrica R, conforme Figura 03.

Observar que R é o fator de proporcionalidade entre corrente e tensão, similar ao c, que é a proporcionalidade entre força e velocidade.

Sistema mecânico Circuito elétrico
x deslocamento Q carga elétrica
m massa L indutância
k constante da mola 1/C inverso de capacitância
v velocidade i corrente elétrica
F força V tensão elétrica
c coef de amortecimento R resistência elétrica
A solução para a equação diferencial é idêntica, bastando substituir os parâmetros e variáveis por seus equivalentes elétricos. E, naturalmente, ocorrem as mesmas condições de amortecimento da Figura 02.


A tabela acima é a correspondência já vista entre grandezas mecânicas e elétricas, com a inclusão dos parâmetros coeficiente de amortecimento e resistência elétrica.


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