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Ressonância
| Topo pág | Fim pág |No sistema massa-mola, a velocidade angular do vetor girante, conforme equação #C.1# do tópico correspondente, é dada por:
| ω2 = | k | ou | ω = √( | k | ) | #A.1#. | No circuito elétrico, | ω2 = | 1 | ou | ω = | 1 | #A.2#. | |
| m | m | LC | √(LC) |
E a freqüência, que equivale a
ω/(2 π), é dada por:| f = | √(k/m) | #B.1# para o sistema mecânico. | f = | 1 | #B.2# para o circuito elétrico. |
| 2 π | 2 π √(LC) |
Essas fórmulas demonstram que a freqüência depende unicamente de parâmetros do sistema (
k e m para o mecânico e L e C para o elétrico). Assim, mantidos esses parâmetros constantes, os sistemas oscilarão sempre nas freqüências dadas pelas fórmulas anteriores, independente das condições iniciais (deslocamento, velocidade inicial ou carga, corrente inicial).As fórmulas acima indicam, portanto, a freqüência natural de oscilação, normalmente denominada freqüência de ressonância.
Oscilações amortecidas
| Topo pág | Fim pág |As equações para os conjuntos mecânico e elétrico vistas até aqui pressupõem condições ideais, isto é, o sistema mecânico está sob vácuo para evitar ação do ar e não há atrito interno no material da mola. No circuito LC, não há fugas de corrente nem resistência elétrica nos condutores.
Nas condições ideais, as vibrações, uma vez iniciadas, mantém-se indefinidamente. Na prática isso não ocorre e pode ser bem observado num conjunto massa e mola, que pára de oscilar depois de algum tempo. Num circuito elétrico LC, o comportamento só pode ser observado com instrumentos, mas é o mesmo. Isso significa que sempre há um agente de amortecimento presente. No conjunto mecânico, o atrito com ar e, principalmente, o atrito interno do material da mola. No circuito elétrico, resistências dos condutores e fugas de corrente.
Na realidade, em vários casos práticos, um elemento de amortecimento é propositalmente inserido. Em particular, o amortecedor hidráulico é o mais comum, amplamente usado, por exemplo, em suspensões de automóveis. E, neste tópico, considera-se apenas amortecedor desse tipo.
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| Figura 01 |
A Figura 01 (a) representa o conjunto na posição de equilíbrio e (b) indica uma posição genérica do movimento oscilatório. Assim, além das forças F e P, atua sobre o corpo a força D tal que
D = c v #A.1#. Onde:c: coeficiente de amortecimento.v: velocidade.
E a igualdade #A.5# do tópico Conjunto massa-mola pode ser escrita:
| R = m a = m | d2x | = − kx − c | dx | #A.2#. Rearranjando, |
| dt2 | dt |
| m | d2x | + c | dx | + kx = 0 | #B.1#. Essa equação diferencial tem solução na forma: |
| dt2 | dt |
x = ert #C.1#.Considerando que
d(ert) / dt = r ert, se substituído x da igualdade #B.1# e eliminado o fator comum ert,m r2 + c r + k = 0 #D.1#.Essa é uma equação simples de segundo grau, que tem as soluções:
r = −c/(2m) ± [ (c/2m)2 − k/m ]1/2 #E.1#.Considera-se c0 o valor de c que faz nula a segunda parcela dessa igualdade, isto é,
(c0/2m)2 − k/m = 0. Reagrupando, c0 = 2 m (k/m)1/2.Usando a definição
ω2 = k / m, vista no tópico Conjunto massa-mola,c0 = 2 m ω #F.1#.E a solução de #B.1# depende do valor de c em relação a c0, com três possibilidades distintas:
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| Figura 02 |
c > c0, #E.1# tem duas soluções, r1 e r2, reais e diferentes e a solução de #B.1# é dada porx = C1 er1t + C2 er2t #G.1#.O movimento não é oscilante, com uma curva parecida com a Figura 02 (a) e o sistema é dito superamortecido.
b) Se
c = c0, #E.1# tem uma única solução:r = −c0/(2m) = −ω, e a solução de #B.1# é dada por:x = (C1 + C2t) e−ωt #H.1#.
O movimento também não é oscilante, mas chega ao ponto de equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar. Curva aproximada na Figura 02 (b). Essa situação é denominada amortecimento crítico.
c) Se
c < c0, #E.1# tem soluções complexas:| r1,2 = − | c | ± βj | . |
| 2m |
Onde
β = [ (k/m) − (c/2m)2 ]1/2 e j é a unidade imaginária (√−1).Consideram-se as igualdades já vistas,
ω2 = k/m (Conjunto massa-mola)2m = c0/ω (#F.1# deste tópico).| Assim, o valor de β pode ser dado por: | β = ω [1 − ( | c | )2 ]1/2 | #I.1#. |
| c0 |
Então, a solução de #B.1# é:
x = e−(c/2m)t (C1 cos βt + C2 sen βt).A soma de co-seno e seno pode ser simplificada de maneira análoga a #E.2# do tópico Conjunto massa-mola:
x = A e−(c/2m)t sen (βt + φ) #J.1#.Por essa equação, pode-se concluir que o sistema oscila, mas a amplitude decresce exponencialmente com o tempo. Curva aproximada na Figura 02 (c). Nessa condição, o sistema é dito subamortecido.
Notar que a velocidade angular é β e não ω e que β < ω. Portanto, a freqüência da oscilação (
β/2π) é menor que a freqüência natural do conjunto (ω/2π).A relação
c/c0 da igualdade #I.1# é denominada fator de amortecimento. Notar que, para um sistema não amortecido, c = 0 e, portanto, β = ω.
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| Figura 03 |
Observar que
R é o fator de proporcionalidade entre corrente e tensão, similar ao c, que é a proporcionalidade entre força e velocidade.
| Sistema mecânico | Circuito elétrico |
| x deslocamento | Q carga elétrica |
| m massa | L indutância |
| k constante da mola | 1/C inverso de capacitância |
| v velocidade | i corrente elétrica |
| F força | V tensão elétrica |
| c coef de amortecimento | R resistência elétrica |
A tabela acima é a correspondência já vista entre grandezas mecânicas e elétricas, com a inclusão dos parâmetros coeficiente de amortecimento e resistência elétrica.
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