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Molas em paralelo e em série
| Topo pág | Fim pág |A Figura 01 deste tópico apresenta as duas situações de um corpo de peso P atuando sobre duas molas de constantes k1 e k2, em paralelo (A) e em série (B). Deseja-se saber as constantes equivalentes (isto é, as constantes de molas únicas que atuariam da mesma forma) para cada caso.
A) Molas em paralelo:
Para essa situação, é suposto que o corpo desliza entre guias conforme desenho, para evitar inclinação e atuação de forças diferentes em cada mola.
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| Figura 01 |
e, com forças iguais a P/2. Assim,P = k1 e + k2 e = (k1 + k2) e = k e, ondek = k1 + k2 #A.1#.E a fórmula pode ser estendida para um número qualquer de molas em paralelo.
B) Molas em série:
Supõe-se uma mola equivalente de constante
k, com uma deformação e. Assim P = k e. Mas a deformação e é igual à soma das deformações de cada mola e1 e e2. Ou seja,P = k (e1 + e2). De outra forma,P/k = e1 + e2. Mas cada mola está sob ação da mesma força P. Portanto, vale:P = k1 e1 = k2 e2. Separando as variáveis,e1 = P/k1.e2 = P/k2. Substituindo na igualdade anterior, P/k = P/k1 + P/k2. Simplificando,| 1 | = | 1 | + | 1 | #B.1#. |
| k | k1 | k2 |
De forma similar à anterior, pode ser ampliada para um número qualquer de molas em série.
Analogia elétrica: circuito LC
| Topo pág | Fim pág |O conjunto massa e mola tratado anteriormente tem analogia com um circuito elétrico LC paralelo conforme Figura 01 deste tópico: supondo que, inicialmente, o capacitor tem uma certa carga elétrica, ela é descarregada através do indutor. Este último, por sua vez, gera uma corrente em sentido contrário que carrega o capacitor e o ciclo se repete.
O desenvolvimento matemático a seguir supõe que sejam conhecidos alguns conceitos e fórmulas básicas. Ver parte Eletricidade e eletromagnetismo deste site.
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito,
VL + VC = 0. Usando as identidades elétricas,| − L | di | − | Q | = 0. | Substituindo i por dQ/dt, |
| dt | C |
| L | d2Q | + | Q | = 0. | Reagrupando, | d2Q | + | 1 | Q = 0. |
| dt2 | C | dt2 | LC |
| Fazendo | ω2 = | 1 | ou | ω = | 1 | #A.1#, | a equação anterior fica |
| LC | √(LC) |
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| Figura 01 |
| d2Q | + ω2 Q = 0 | #B.1#. |
| dt2 |
Notar que essa é a mesma equação diferencial do conjunto massa-mola (#D.1# do tópico Conjunto massa-mola), mudando apenas o nome da variável de x para Q.
Portanto, a oscilação do circuito elétrico LC é matematicamente similar à oscilação do sistema massa e mola. E a solução da equação diferencial é a mesma dada para este último:
Q = Qmax sen (ωt + φ) #B.1#.Onde Qmax é o valor absoluto da máxima carga no capacitor, equivalente à amplitude (deslocamento máximo) do sistema mecânico.
| Sistema mecânico | Circuito elétrico |
| x deslocamento | Q carga elétrica |
| m massa | L indutância |
| k constante da mola | 1/C inverso de capacitância |
| v velocidade | i corrente elétrica |
| F força | V tensão elétrica |
Assim,
i = Qmax ω cos (ωt + φ).De outra forma,
i = ip cos (ωt + φ) #C.1# (em eletricidade é comum o uso da notação ip, corrente de pico, no lugar de corrente máxima).A tensão no capacitor é
VC = Q / C, de acordo com relações da eletricidade. Dividindo ambos os lados de #B.1# por C,V = Vp sen (ωt + φ) #D.1#.A fórmula acima usa a notação Vp, tensão de pico = Qmax / C, no lugar de tensão máxima, de forma similar à anterior.
A tabela acima dá as correspondências entre grandezas mecânicas e elétricas dos sistemas vistos até agora. A dedução é simples, bastando observar as similaridades entre as equações deste tópico e as do tópico Conjunto massa-mola. Talvez a menos visível seja a relação entre força e tensão elétrica:
Considera-se a igualdade #A.1# do referido tópico:
P = k e (no lugar de P, pode ser o símbolo F).Mas
k corresponde a 1/C do elétrico e e (= x, deslocamento), a Q (carga elétrica). Assim F corresponde a Q/C, que é tensão elétrica segundo relação da eletricidade.De forma idêntica, as variações de carga elétrica e de outras grandezas (corrente, tensão) podem ser representadas pela projeção de um vetor girante de velocidade angular ω e gráfico senoidal conforme já visto para o conjunto mecânico.
A velocidade angular
ω, o período P e a freqüência f têm as mesmas relações do movimento mecânico.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
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