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Vibrações mecânicas I-10



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Vibrações mecânicas são movimentos periódicos de corpos ou partículas. Sua ocorrência é amplamente disseminada no dia-a-dia. Embora, em muitos casos reais a análise seja um tanto complexa, os princípios básicos são relativamente simples e existe uma analogia quase perfeita com oscilações elétricas. Esta série de páginas pretende dar algumas informações teóricas e exemplos práticos.


Conjunto massa-mola

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Na Figura 01, a mola é supostamente ideal, isto é, peso próprio nulo, sem atritos e deformação proporcional à força aplicada. Nessa mesma figura, o deslocamento vertical é indicado pela coordenada x, ao contrário do y convencional. O propósito é obter uma formulação usual para a equação diferencial.

Numa situação de equilíbrio estático, um peso na extremidade móvel da mola produz uma deformação tal que

P = k e  #A.1#. Onde:

P: peso do corpo.
k: constante da mola.
e: deformação longitudinal.

Esse conjunto pode oscilar como a prática demonstra. Se o corpo é levado até um ponto +A e liberado, ele executa um movimento oscilante, teoricamente entre os pontos +A e −A (o mesmo efeito será obtido se, a partir da posição de equilíbrio, for dada ao corpo uma velocidade inicial). Considera-se a origem 0 no ponto de equilíbrio.

Sistema massa / mola
Figura 01
Em uma posição genérica conforme 3 da Figura 01, as forças atuantes sobre o corpo são o seu peso P e a força F exercida pela mola, que é igual ao produto da constante k pelo deslocamento:

F = k (e + x)  #A.2#.

E a resultante R é dada por:

R = P − F = P − k(e + x)  #A.3#.

Desde que, conforme #A.1#, P = k e,

R = k e − k(e + x) = − kx  #A.4#.

Mas, de acordo com a segunda lei de Newton, a resultante R deve ser igual ao produto da massa m do corpo pela sua aceleração. Esta última, por sua vez, é igual à derivada de segunda ordem da distância x em relação ao tempo. Assim:

R = m a = m  d2x  = − kx  #A.5#. Reagrupando a igualdade,
dt2

d2x  + kx = 0  #B.1#. Onde:
dt2

m: massa do corpo.
x: deslocamento em relação à origem.
t: tempo.
k: constante da mola.

Seja uma grandeza ω tal que:  ω2 k  #C.1# . Então a igualdade anterior pode ser escrita:
m

d2x  + ω2 x = 0  #D.1#.
dt2


Movimento harmônico simples é o nome dado ao movimento definido por essa equação. Observar que a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem direção oposta. O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. A solução genérica para essa equação diferencial é:

x = C1 cos ωt + C2 sen ωt  #E.1#. Onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais do movimento.

Considerando a identidade trigonométrica, a solução acima pode ser apresentada na forma:

x = r sen (ωt + φ)  #E.2#. Onde:

r = √(C12 + C22 #F.1#.
φ = atan C2/C1  #F.2#.

Derivando a igualdade #E.1# para obter a velocidade,

v = dx/dt = − C1 ω sen ωt + C2 ω cos ωt.

Se, nessa igualdade, for considerado t = 0, a velocidade v será a velocidade inicial v0. Assim,

C2 = v0 / ω  #G.1#.

De forma similar, se na igualdade #E.1# for considerado t = 0,

C1 = x0  #G.2#, onde x0 é o deslocamento inicial.


No estudo do movimento harmônico simples, é preferível a solução conforme #E.2# por ser mais compacta. Considerando que o maior valor absoluto da função seno é 1, é lógico supor que r é igual ao deslocamento máximo (ou A da Figura 01). Pode-se então escrever:

x = A sen (ωt + φ)  #H.1#, onde A é a amplitude da oscilação.

Velocidade angular no movimento harmônico simples
Figura 02
O movimento harmônico simples pode ser representado pela projeção vertical de um vetor de módulo r = A que gira em torno de sua origem com uma velocidade angular constante ω. Na Figura 02, a equivalência entre essa representação e o gráfico da função senoidal da igualdade #H.1#.

O ângulo φ é denominado ângulo de fase e indica o deslocamento angular inicial (para t = 0) do vetor girante.

Velocidade e aceleração são dadas por:

v =  dx  = A ω cos (ωt + φ)  #I.1#.
dt

a =  dv  = − A ω2 sen (ωt + φ)  #J.1#.
dt


Período P do movimento harmônico é definido como o tempo necessário para uma rotação completa do vetor girante (ou um ciclo completo da senóide). Desde que velocidade angular é a relação entre deslocamento angular e tempo, para um período esse ângulo deve ser 2 π. Assim, ω = 2 π / P ou

P =  2 π  #K.1#.
ω

Freqüência f é o número de períodos por unidade de tempo ou

f =  1  =  ω  #L.1#.
P 2 π

Lembrando a igualdade #C.1#, a velocidade angular é:

ω = √( k )
m

Isso significa que o período (e, por conseqüência, a freqüência) só dependem da constante da mola e da massa.


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