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Vibrações mecânicas são movimentos periódicos de corpos ou partículas. Sua ocorrência é amplamente disseminada no dia-a-dia. Embora, em muitos casos reais a análise seja um tanto complexa, os princípios básicos são relativamente simples e existe uma analogia quase perfeita com oscilações elétricas. Esta série de páginas pretende dar algumas informações teóricas e exemplos práticos.
Conjunto massa-mola
| Topo pág | Fim pág |Na Figura 01, a mola é supostamente ideal, isto é, peso próprio nulo, sem atritos e deformação proporcional à força aplicada. Nessa mesma figura, o deslocamento vertical é indicado pela coordenada x, ao contrário do y convencional. O propósito é obter uma formulação usual para a equação diferencial.
Numa situação de equilíbrio estático, um peso na extremidade móvel da mola produz uma deformação tal que
P = k e #A.1#. Onde:P: peso do corpo.
k: constante da mola.
e: deformação longitudinal.
Esse conjunto pode oscilar como a prática demonstra. Se o corpo é levado até um ponto +A e liberado, ele executa um movimento oscilante, teoricamente entre os pontos +A e −A (o mesmo efeito será obtido se, a partir da posição de equilíbrio, for dada ao corpo uma velocidade inicial). Considera-se a origem 0 no ponto de equilíbrio.
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| Figura 01 |
F = k (e + x) #A.2#.E a resultante R é dada por:
R = P − F = P − k(e + x) #A.3#.Desde que, conforme #A.1#,
P = k e,R = k e − k(e + x) = − kx #A.4#.
Mas, de acordo com a segunda lei de Newton, a resultante R deve ser igual ao produto da massa m do corpo pela sua aceleração. Esta última, por sua vez, é igual à derivada de segunda ordem da distância x em relação ao tempo. Assim:
| R = m a = m | d2x | = − kx | #A.5#. Reagrupando a igualdade, |
| dt2 |
| m | d2x | + kx = 0 | #B.1#. Onde: |
| dt2 |
m: massa do corpo.
x: deslocamento em relação à origem.
t: tempo.
k: constante da mola.
| Seja uma grandeza ω tal que: | ω2 = | k | #C.1# | . Então a igualdade anterior pode ser escrita: |
| m |
| d2x | + ω2 x = 0 | #D.1#. |
| dt2 |
Movimento harmônico simples é o nome dado ao movimento definido por essa equação. Observar que a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem direção oposta. O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. A solução genérica para essa equação diferencial é:
x = C1 cos ωt + C2 sen ωt #E.1#. Onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais do movimento.Considerando a identidade trigonométrica, a solução acima pode ser apresentada na forma:
x = r sen (ωt + φ) #E.2#. Onde:r = √(C12 + C22) #F.1#.φ = atan C2/C1 #F.2#.Derivando a igualdade #E.1# para obter a velocidade,
v = dx/dt = − C1 ω sen ωt + C2 ω cos ωt.Se, nessa igualdade, for considerado t = 0, a velocidade v será a velocidade inicial v0. Assim,
C2 = v0 / ω #G.1#.De forma similar, se na igualdade #E.1# for considerado t = 0,
C1 = x0 #G.2#, onde x0 é o deslocamento inicial.No estudo do movimento harmônico simples, é preferível a solução conforme #E.2# por ser mais compacta. Considerando que o maior valor absoluto da função seno é 1, é lógico supor que r é igual ao deslocamento máximo (ou A da Figura 01). Pode-se então escrever:
x = A sen (ωt + φ) #H.1#, onde A é a amplitude da oscilação.
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| Figura 02 |
O ângulo φ é denominado ângulo de fase e indica o deslocamento angular inicial (para t = 0) do vetor girante.
Velocidade e aceleração são dadas por:
| v = | dx | = A ω cos (ωt + φ) | #I.1#. |
| dt |
| a = | dv | = − A ω2 sen (ωt + φ) | #J.1#. |
| dt |
Período P do movimento harmônico é definido como o tempo necessário para uma rotação completa do vetor girante (ou um ciclo completo da senóide). Desde que velocidade angular é a relação entre deslocamento angular e tempo, para um período esse ângulo deve ser 2 π. Assim, ω = 2 π / P ou
| P = | 2 π | #K.1#. |
| ω |
Freqüência f é o número de períodos por unidade de tempo ou
| f = | 1 | = | ω | #L.1#. |
| P | 2 π |
Lembrando a igualdade #C.1#, a velocidade angular é:
| ω = √( | k | ) |
| m |
Isso significa que o período (e, por conseqüência, a freqüência) só dependem da constante da mola e da massa.
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