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O movimento relativo de dois corpos em contato é sempre acompanhado por uma força que se opõe ao deslocamento, genericamente denominada força de atrito ou de fricção. É um resultado estatístico da interação das moléculas em ambos os corpos. Experimentos práticos demonstraram que ela obedece a determinados princípios básicos, cuja formulação resumida é objeto desta página.
Conforme Figura 01, considera-se um corpo de peso P (que pode ser o seu peso próprio ou este último mais uma carga externa) sobre uma superfície plana e sob ação de uma força horizontal F. Sempre haverá uma força de atrito A que se opõe à ação de F. A superfície exerce sobre o corpo a reação normal N.
Supõe-se que o corpo desliza em movimento retilíneo uniforme. Assim, as somas das forças e dos momentos atuantes no mesmo são nulas:
∑ Fy = 0 = P + N ou N = −P #A.1#.
∑ Fx = 0 = F + A ou A = −F #A.2#.
∑ M = 0 = bN + aA ou b = −a A / N #A.3#.
A posição da linha de ação de N não é relevante para este caso e esta última equação é dada apenas para completar a condição do movimento do corpo.
Na prática, verifica-se que o módulo da força de atrito A é proporcional ao módulo de N:
A = μ N #B.1#.
O fator de proporcionalidade μ é denominado coeficiente de atrito para as duas superfícies.
Esse coeficiente depende dos materiais em contato e de outros fatores como temperatura e presença de outros elementos nas superfícies tais como água, óleo. Entretanto, para os mesmos materiais e nas mesmas condições, a proporcionalidade é válida.
Outra característica observada: se o corpo está em repouso e a força F é aplicada de forma gradual, do zero até o instante em que o corpo começa a se mover, é verificado, nesse instante, um coeficiente de proporcionalidade diferente do anterior, com o corpo em movimento.
Pode-se dizer então que um par de superfícies apresenta dois coeficientes de atrito:
• μe: coeficiente de atrito estático (iminência do deslizamento).
• μd: coeficiente de atrito dinâmico (em deslizamento).
O primeiro é sempre maior que o segundo, isto é, μe > μd #C.1#.
Nesta página a notação simples sem índice (μ) pode representar um ou outro, se ficar subentendido o tipo a que se refere.
Combinando as igualdades anteriores #A.1# e #A.2#,
N + A + P + F = 0 #D.1#.
De outra forma,
N + A = R = −P −F #D.2#. Ver diagrama na Figura 02.
Portanto, a força R pode ser considerada a reação total que a superfície aplica no corpo, incluindo a reação normal e a reação de atrito.
O ângulo φ, que a resultante R faz com a vertical, é o ângulo de atrito ou ângulo de deslizamento. É fácil verificar que
μ = tan φ #E.1#.
Numericamente, o atrito pode ser dado pelo ângulo ou pelo coeficiente. Na prática, é mais comum o uso do coeficiente.
Exemplo 01: Cunha
Na Figura 03, uma força horizontal F, aplicada na cunha C, tende a levantar a coluna B.
Desprezando o peso próprio das partes e considerando o mesmo ângulo de atrito φ para todas as superfícies, deseja-se saber a intensidade da força F que levanta, sob velocidade constante, uma carga P sobre a coluna B
Deve-se ter ∑ F = 0 para as partes B e C. Na Figura 04, a indicação das forças atuantes em cada.
Em B: P + R2 + R1 = 0 ou P + R1 = −R2.
Em C: F + R3 − R2 = 0 ou F + R3 = R2.
O diagrama vetorial pode ser visto na Figura 04.
Considerando as propriedades do triângulo,
F/sen c = R2/sen b.
P/sen d = R2/sen e.
F = R2 sen c/sen b.
R2 = P sen e/sen d.
F = P sen c sen e / (sen b sen d).
Para os ângulos:
a = 90 - φ - α.
b = 90 - φ. Portanto, sen b = cos φ.
c = α + 2φ.
d = 90 - 2φ - α. Portanto, sen d = cos (2φ + α).
e = 90 + φ. Portanto, sen e = cos φ.
f = φ + α.
Substituindo, F = P sen (α + 2φ) cos φ /(cos φ cos (2φ + α)). A simplificação dessa igualdade resulta em:
F = P tan (2φ + α).
Exemplo 02: Plano inclinado
Um corpo sobre um plano inclinado que faz um ângulo α com a horizontal e sob ação de seu peso próprio, conforme Figura 06 ao lado, tendo um ângulo de atrito φ com a superfície.
A indicação vetorial das forças é suficiente para concluir que o corpo permanece em repouso enquanto
α ≤ φ.
Exemplo 03: Elevador de parafuso
Um parafuso de filete de rosca retangular (Figura 07) é usado para levantar uma carga P. Deseja-se saber o momento M que será necessário aplicar em função dessa carga, dos diâmetros interno (Di) e externo (De) da rosca, do ângulo α da rosca e do ângulo de atrito φ.
Considera-se que cada filete da rosca suporta a carga P, distribuída uniformemente ao longo de um raio médio r, dado por (De + Di)/4.
Assim, em cada porção infinitesimal de r, haverá uma reação dR que faz um ângulo (α + φ) com a vertical. Na condição de equilíbrio:
∑ Fy = 0 = P − ∫ dR cos(α + φ) ou
P = cos(α + φ) ∫ dR ou ∫ dR = P/cos(α + φ).
∑ M = 0 = M − ((De + Di)/4) ∫ dR sen(α + φ) ou
M = ((De + Di)/4) sen(α + φ) ∫ dR.
M = ((De + Di)/4) sen(α + φ) P/cos(α + φ).
M = P tan(α + φ) (De + Di) / 4.
Fica para o leitor deduzir que, na situação inversa, isto é, descida, o parafuso gira com a simples aplicação da carga se α > φ.
Alguns valores de coeficiente de atrito
A tabela ao lado dá apenas uma idéia de ordem de grandeza.
Os valores de coeficiente de atrito podem variar porque dependem de condições diversas dos materiais, da composição, etc.
Atrito de deslizamento |
Topo | Fim |
Conforme Figura 01, considera-se um corpo de peso P (que pode ser o seu peso próprio ou este último mais uma carga externa) sobre uma superfície plana e sob ação de uma força horizontal F. Sempre haverá uma força de atrito A que se opõe à ação de F. A superfície exerce sobre o corpo a reação normal N.
Supõe-se que o corpo desliza em movimento retilíneo uniforme. Assim, as somas das forças e dos momentos atuantes no mesmo são nulas:
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| Fig 01 |
∑ Fx = 0 = F + A ou A = −F #A.2#.
∑ M = 0 = bN + aA ou b = −a A / N #A.3#.
A posição da linha de ação de N não é relevante para este caso e esta última equação é dada apenas para completar a condição do movimento do corpo.
Na prática, verifica-se que o módulo da força de atrito A é proporcional ao módulo de N:
A = μ N #B.1#.
O fator de proporcionalidade μ é denominado coeficiente de atrito para as duas superfícies.
Esse coeficiente depende dos materiais em contato e de outros fatores como temperatura e presença de outros elementos nas superfícies tais como água, óleo. Entretanto, para os mesmos materiais e nas mesmas condições, a proporcionalidade é válida.
Outra característica observada: se o corpo está em repouso e a força F é aplicada de forma gradual, do zero até o instante em que o corpo começa a se mover, é verificado, nesse instante, um coeficiente de proporcionalidade diferente do anterior, com o corpo em movimento.
Pode-se dizer então que um par de superfícies apresenta dois coeficientes de atrito:
• μe: coeficiente de atrito estático (iminência do deslizamento).
• μd: coeficiente de atrito dinâmico (em deslizamento).
O primeiro é sempre maior que o segundo, isto é, μe > μd #C.1#.
Nesta página a notação simples sem índice (μ) pode representar um ou outro, se ficar subentendido o tipo a que se refere.
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| Fig 02 |
N + A + P + F = 0 #D.1#.
De outra forma,
N + A = R = −P −F #D.2#. Ver diagrama na Figura 02.
Portanto, a força R pode ser considerada a reação total que a superfície aplica no corpo, incluindo a reação normal e a reação de atrito.
O ângulo φ, que a resultante R faz com a vertical, é o ângulo de atrito ou ângulo de deslizamento. É fácil verificar que
μ = tan φ #E.1#.
Numericamente, o atrito pode ser dado pelo ângulo ou pelo coeficiente. Na prática, é mais comum o uso do coeficiente.
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| Fig 03 |
Na Figura 03, uma força horizontal F, aplicada na cunha C, tende a levantar a coluna B.
Desprezando o peso próprio das partes e considerando o mesmo ângulo de atrito φ para todas as superfícies, deseja-se saber a intensidade da força F que levanta, sob velocidade constante, uma carga P sobre a coluna B
Deve-se ter ∑ F = 0 para as partes B e C. Na Figura 04, a indicação das forças atuantes em cada.
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| Fig 04 |
Em C: F + R3 − R2 = 0 ou F + R3 = R2.
O diagrama vetorial pode ser visto na Figura 04.
Considerando as propriedades do triângulo,
F/sen c = R2/sen b.
P/sen d = R2/sen e.
F = R2 sen c/sen b.
R2 = P sen e/sen d.
F = P sen c sen e / (sen b sen d).
Para os ângulos:
a = 90 - φ - α.
b = 90 - φ. Portanto, sen b = cos φ.
c = α + 2φ.
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| Fig 05 |
e = 90 + φ. Portanto, sen e = cos φ.
f = φ + α.
Substituindo, F = P sen (α + 2φ) cos φ /(cos φ cos (2φ + α)). A simplificação dessa igualdade resulta em:
F = P tan (2φ + α).
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| Fig 06 |
Um corpo sobre um plano inclinado que faz um ângulo α com a horizontal e sob ação de seu peso próprio, conforme Figura 06 ao lado, tendo um ângulo de atrito φ com a superfície.
A indicação vetorial das forças é suficiente para concluir que o corpo permanece em repouso enquanto
α ≤ φ.
Exemplo 03: Elevador de parafuso
Um parafuso de filete de rosca retangular (Figura 07) é usado para levantar uma carga P. Deseja-se saber o momento M que será necessário aplicar em função dessa carga, dos diâmetros interno (Di) e externo (De) da rosca, do ângulo α da rosca e do ângulo de atrito φ.
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| Fig 07 |
Assim, em cada porção infinitesimal de r, haverá uma reação dR que faz um ângulo (α + φ) com a vertical. Na condição de equilíbrio:
∑ Fy = 0 = P − ∫ dR cos(α + φ) ou
P = cos(α + φ) ∫ dR ou ∫ dR = P/cos(α + φ).
∑ M = 0 = M − ((De + Di)/4) ∫ dR sen(α + φ) ou
M = ((De + Di)/4) sen(α + φ) ∫ dR.
M = ((De + Di)/4) sen(α + φ) P/cos(α + φ).
M = P tan(α + φ) (De + Di) / 4.
Fica para o leitor deduzir que, na situação inversa, isto é, descida, o parafuso gira com a simples aplicação da carga se α > φ.
| Material | μe | μd |
| Aço / aço (seco) | 0,70 | 0,60 |
| Bronze / aço (seco) | 0,19 | 0,18 |
| Cobre / aço (seco) | 0,50 | 0,40 |
| Madeira / madeira (seco) | 0,50 | 0,30 |
| Teflon / aço | 0,04 | 0,04 |
A tabela ao lado dá apenas uma idéia de ordem de grandeza.
Os valores de coeficiente de atrito podem variar porque dependem de condições diversas dos materiais, da composição, etc.
| Última atualização ou revisão: Dez/2007 | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | |
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