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Forças de atrito I-10


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Atrito de deslizamento:
Exemplo 01: cunha
Exemplo 02: plano inclinado
Exemplo 03: elevador de parafuso
Alguns valores de coeficiente de atrito |
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O movimento relativo de dois corpos em contato é sempre acompanhado por uma força que se opõe ao deslocamento, genericamente denominada força de atrito ou de fricção. É um resultado estatístico da interação das moléculas em ambos os corpos. Experimentos práticos demonstraram que ela obedece a determinados princípios básicos, cuja formulação resumida é objeto desta página.


Atrito de deslizamento

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Conforme Figura 01, considera-se um corpo de peso P (que pode ser o seu peso próprio ou este último mais uma carga externa) sobre uma superfície plana e sob ação de uma força horizontal F. Sempre haverá uma força de atrito A que se opõe à ação de F. A superfície exerce sobre o corpo a reação normal N.

Supõe-se que o corpo desliza em movimento retilíneo uniforme. Assim, as somas das forças e dos momentos atuantes no mesmo são nulas:

Força de atrito
Fig 01
Fy = 0 = P + N ou N = −P #A.1#.

Fx = 0 = F + A ou A = −F #A.2#.

∑ M = 0 = bN + aA ou b = −a A / N #A.3#.

A posição da linha de ação de N não é relevante para este caso e esta última equação é dada apenas para completar a condição do movimento do corpo.

Na prática, verifica-se que o módulo da força de atrito A é proporcional ao módulo de N:

A = μ N #B.1#.

O fator de proporcionalidade μ é denominado coeficiente de atrito para as duas superfícies.

Esse coeficiente depende dos materiais em contato e de outros fatores como temperatura e presença de outros elementos nas superfícies tais como água, óleo. Entretanto, para os mesmos materiais e nas mesmas condições, a proporcionalidade é válida.

Outra característica observada: se o corpo está em repouso e a força F é aplicada de forma gradual, do zero até o instante em que o corpo começa a se mover, é verificado, nesse instante, um coeficiente de proporcionalidade diferente do anterior, com o corpo em movimento.

Pode-se dizer então que um par de superfícies apresenta dois coeficientes de atrito:

• μe: coeficiente de atrito estático (iminência do deslizamento).

• μd: coeficiente de atrito dinâmico (em deslizamento).

O primeiro é sempre maior que o segundo, isto é, μe > μd #C.1#.

Nesta página a notação simples sem índice (μ) pode representar um ou outro, se ficar subentendido o tipo a que se refere.

Reação normal e força de atrito
Fig 02
Combinando as igualdades anteriores #A.1# e #A.2#,

N + A + P + F = 0 #D.1#.

De outra forma,

N + A = R = −PF #D.2#. Ver diagrama na Figura 02.

Portanto, a força R pode ser considerada a reação total que a superfície aplica no corpo, incluindo a reação normal e a reação de atrito.

O ângulo φ, que a resultante R faz com a vertical, é o ângulo de atrito ou ângulo de deslizamento. É fácil verificar que

μ = tan φ #E.1#.

Numericamente, o atrito pode ser dado pelo ângulo ou pelo coeficiente. Na prática, é mais comum o uso do coeficiente.

Exemplo de atrito: cunha
Fig 03
Exemplo 01: Cunha

Na Figura 03, uma força horizontal F, aplicada na cunha C, tende a levantar a coluna B.

Desprezando o peso próprio das partes e considerando o mesmo ângulo de atrito φ para todas as superfícies, deseja-se saber a intensidade da força F que levanta, sob velocidade constante, uma carga P sobre a coluna B

Deve-se ter ∑ F = 0 para as partes B e C. Na Figura 04, a indicação das forças atuantes em cada.

Forças atuantes na cunha
Fig 04
Em B: P + R2 + R1 = 0 ou P + R1 = −R2.

Em C: F + R3R2 = 0 ou F + R3 = R2.

O diagrama vetorial pode ser visto na Figura 04.

Considerando as propriedades do triângulo,

F/sen c = R2/sen b.
P/sen d = R2/sen e.

F = R2 sen c/sen b.
R2 = P sen e/sen d.

F = P sen c sen e / (sen b sen d).

Para os ângulos:

a = 90 - φ - α.
b = 90 - φ. Portanto, sen b = cos φ.
c = α + 2φ.

Soma vetorial das forças atuantes na cunha
Fig 05
d = 90 - 2φ - α. Portanto, sen d = cos (2φ + α).

e = 90 + φ. Portanto, sen e = cos φ.

f = φ + α.

Substituindo, F = P sen (α + 2φ) cos φ /(cos φ cos (2φ + α)). A simplificação dessa igualdade resulta em:

F = P tan (2φ + α).

Força de atrito em um plano inclinado
Fig 06
Exemplo 02: Plano inclinado

Um corpo sobre um plano inclinado que faz um ângulo α com a horizontal e sob ação de seu peso próprio, conforme Figura 06 ao lado, tendo um ângulo de atrito φ com a superfície.

A indicação vetorial das forças é suficiente para concluir que o corpo permanece em repouso enquanto

α ≤ φ.

Exemplo 03: Elevador de parafuso

Um parafuso de filete de rosca retangular (Figura 07) é usado para levantar uma carga P. Deseja-se saber o momento M que será necessário aplicar em função dessa carga, dos diâmetros interno (Di) e externo (De) da rosca, do ângulo α da rosca e do ângulo de atrito φ.

Elevador de parafuso
Fig 07
Considera-se que cada filete da rosca suporta a carga P, distribuída uniformemente ao longo de um raio médio r, dado por (De + Di)/4.

Assim, em cada porção infinitesimal de r, haverá uma reação dR que faz um ângulo (α + φ) com a vertical. Na condição de equilíbrio:

∑ Fy = 0 = P − ∫ dR cos(α + φ) ou

P = cos(α + φ) ∫ dR ou ∫ dR = P/cos(α + φ).

∑ M = 0 = M − ((De + Di)/4) ∫ dR sen(α + φ) ou

M = ((De + Di)/4) sen(α + φ) ∫ dR.

M = ((De + Di)/4) sen(α + φ) P/cos(α + φ).

M = P tan(α + φ) (De + Di) / 4.

Fica para o leitor deduzir que, na situação inversa, isto é, descida, o parafuso gira com a simples aplicação da carga se α > φ.

Material μe μd
Aço / aço (seco) 0,70 0,60
Bronze / aço (seco) 0,19 0,18
Cobre / aço (seco) 0,50 0,40
Madeira / madeira (seco) 0,50 0,30
Teflon / aço 0,04 0,04
Alguns valores de coeficiente de atrito

A tabela ao lado dá apenas uma idéia de ordem de grandeza.

Os valores de coeficiente de atrito podem variar porque dependem de condições diversas dos materiais, da composição, etc.


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