Forças atuantes no mesmo ponto

Topo | Fim

As considerações deste tópico supõem que as forças estão no mesmo plano, mas os resultados são também válidos para forças não coplanares, desde que atuantes no mesmo ponto.

Fig 01

Um conjunto de forças F₁, F₂, ..., que atuam no mesmo ponto material, equivale, para todos os efeitos, a uma única força R, igual à soma vetorial das anteriores, que passa pelo ponto:

R = ∑ F_i #A.1#.

A soma R é usualmente denominada resultante do conjunto de forças.

A Figura 01 (a) dá um exemplo para três forças F₁, F₂ e F₃ que atuam no mesmo ponto A. Em (b) da figura, a soma, isto é, a resultante, é determinada graficamente a partir das 3 forças. Em (c), a situação equivalente.

Fig 02

Em muitos casos, a determinação da resultante é facilitada pela decomposição em um sistema de coordenadas.

A Figura 02 (a) deste tópico dá um exemplo para duas forças.

Os componentes em cada eixo (X e Y) são vetores no mesmo alinhamento e, portanto, os resultados R_x e R_y podem ser calculados de forma simples. E o vetor resultante é facilmente determinado como em (c) da figura.

Forças em corpos rígidos - Torque

Topo | Fim

Na maioria dos casos práticos, os corpos não são (ou não podem ser considerados) simples pontos materiais. Na realidade, todos eles têm três dimensões, mas, por simplicidade, consideram-se por enquanto apenas duas dimensões, isto é, as forças são coplanares.

Fig 01

Isso tem fundamento prático porque, em vários casos, os esforços principais atuam no mesmo plano e os demais são desprezíveis.

A Figura 01 representa um princípio elementar, mas importante porque pode ser aplicado em qualquer caso.

A ação de uma força sobre um corpo independe da sua posição ao longo da sua linha de ação. Portanto, os casos (a) e (b), indicados como exemplos na figura, são equivalentes.

Fig 02

A ação de uma força sobre um corpo pode resultar em tendência à rotação em vez de translação:

Na Figura 02 o corpo pode girar em torno do ponto O. Uma força F, deslocada de O, produz um efeito de rotação.

É facilmente perceptível na prática que o efeito será tanto mais intenso quanto maior a intensidade da força F e/ou a distância de F ao ponto O.

Então, uma grandeza que pode relacionar o fato é dada pelo produto do módulo da força F pela distância d entre a linha de ação de F e o ponto O:

τ = d F #A.1#. Essa grandeza é denominada torque (ou momento) da força F em relação ao ponto O. E a unidade básica no Sistema Internacional é o Newton metro (N m).

Fig 03

Se for tomada a distância r do ponto O até o ponto A (aplicação da força), a igualdade anterior fica

τ = r sen φ F.

Isso sugere um produto vetorial e, rigorosamente, o torque é assim definido:

τ = r × F #B.1#.

Ou seja, torque é um vetor igual ao produto vetorial do vetor de posição r do ponto de aplicação da força e o vetor da força (F).

Da definição de produto vetorial, conclui-se que o vetor torque é perpendicular ao plano dos vetores r e F e o sentido pode ser dado pela regra da mão direita conforme Figura 03.

Fig 04

O produto vetorial anterior pode ser dado pelo determinante de (a) da Figura 04, onde i, j e k são vetores unitários.

Expandindo de acordo com propriedades dos determinantes,

τ = i (r_y F_z − r_z F_y) + j (r_z F_x − r_x F_z) + k (r_x F_y − r_y F_x).

Desde que i, j e k são vetores unitários em cada eixo (X, Y e Z), a igualdade acima dá os componentes do vetor torque.

Se r e F estão no plano XY, r_z = F_z = 0 e o vetor torque está no eixo z. De acordo com a igualdade anterior, a sua coordenada fica:

τ = r_x F_y − r_y F_x #C.1#.

Em (b) da mesma figura, pode-se ver a situação: o torque de uma força F em relação a um ponto O é igual à soma dos torques de cada componente da força em relação ao mesmo ponto. O sinal negativo ocorre porque as tendências de rotação são opostas.

Fig 05

A Figura 05 dá exemplo de duas forças F₁ e F₂, de resultante R e atuantes no mesmo ponto A.

Pode-se usar a propriedade distributiva do produto vetorial:

τ = r × R = r × (F₁ + F₂) = r × F₁ + r × F₂.

τ = = τ₁ + τ₂.

A relação anterior pode ser generalizada para um número qualquer de forças no mesmo ponto, τ = ∑ τ_i #D.1#.

Forças em corpos rígidos - Conjugado

Topo | Fim

Conjugado (ou binário) é o nome dado a um conjunto de das forças paralelas, separadas por uma determinada distância, de mesmo módulo e de sentidos opostos.

Na Figura 01, o conjugado (F, −F) atua num determinado corpo. Calcula-se o torque total em relação a um ponto genérico O pela soma dos torques de cada força:

Fig 01

τ = τ_A + τ_B = r_A x F − r_B x F = (r_A − r_B) x F.

τ = Δr x F #A.1#.

O vetor Δr não depende da posição do ponto O. Assim, pode-se dizer que o torque de um conjugado é sempre o mesmo, independente da posição do ponto de referência.

Da igualdade anterior, pode ser facilmente deduzido que

τ = d F #B.1#.

Ou seja, a intensidade do torque de um conjugado é o simples produto da intensidade das forças pela distância entre elas.

A resultante das forças de um conjugado é R = ∑ F_i = F + −F = 0. Mas o efeito não é nulo porque há uma ação de rotação. Assim, a existência do conjugado permite afirmar que a ação de forças não atuantes no mesmo ponto não é necessariamente igual à simples ação da resultante vetorial.

Fig 02

Em termos genéricos, podemos dizer que qualquer sistema de forças atuantes em um corpo pode ser reduzido a uma força e a um conjugado.

A Figura 02 (a) dá um exemplo clássico: uma força F atua em um ponto A de um corpo a uma distância r do ponto de referência O.

Se, como em (b) da figura, é adicionado a O um par de forças F e −F, a ação global não deve mudar porque a resultante é nula e elas estão no mesmo alinhamento.

Mas pode-se dizer que isso equivale ao deslocamento da força para o ponto O e ao conjugado −F, r e F.

Na realidade, os casos podem ser:

a) Para forças coplanares, se não resultar em um conjugado, as forças poderão sempre ser resumidas em uma única resultante, independente da atuação no mesmo ponto ou não. Isso ocorre porque todos os vetores de deslocamentos e de forças estão no mesmo plano e, portanto, os vetores de torque serão todos perpendiculares à força resultante.

b) Para forças no espaço, se não atuam no mesmo ponto, poderá ou não ser necessário um conjugado ao lado da resultante. Isso dependerá de cada caso.