Lagrangiana e equação do movimento

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A lagrangiana L de um sistema mecânico é dada pela relação:

L = T − U #A.1#. Onde:

T: energia cinética.
U: energia potencial.

A formulação de Lagrange usa o conceito de coordenada generalizada, isto é, um vetor de posição q (em geral convenientemente escolhido para facilitar a análise) e sua derivada em relação ao tempo (velocidade representada na notação de praxe em vez de dq/dt).

E a equação do movimento é dada de forma genérica: d ( ∂L/∂ ) / dt = ∂L / ∂q #B.1#.

Naturalmente, essa equação pode ser demonstrada, mas aqui não é feito porque o propósito é somente uma abordagem resumida. Se q for igual a um vetor de posição em coordenadas cartesianas, o desenvolvimento das derivações resultará na segunda lei de Newton.

Exemplo 01: pêndulo

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A formulação de Lagrange para o movimento é genérica, mas, em conformidade com os propósitos desta página, analisa-se um caso particular de pêndulo plano simples conforme Figura 01.

No estudo clássico com as leis de Newton, há necessidade de um vetor de posição r com duas coordenadas r_x e r_y. Entretanto, o ângulo θ que a haste do pêndulo faz com a vertical define perfeitamente a posição do mesmo, uma vez que o comprimento ℓ é supostamente constante.

Fig 01

Portanto θ e (velocidade angular) são as coordenadas generalizadas para este caso, equivalentes a q e do tópico anterior.

A energia cinética é dada por:

T = (1/2) m (ℓ )² #A.1#.

A energia potencial é

U = − m g ℓ cos θ #B.1#.

Então a lagrangiana do pêndulo é dada por L = (1/2) m (ℓ )² + m g ℓ cos θ #C.1#. Assim,

∂L / ∂ = m ℓ² .

∂L / ∂θ = − m g ℓ sen θ.

Usando #B.1# do tópico anterior, d (m ℓ² ) / dt = − m g ℓ sen θ. Portanto, m ℓ² = − m g ℓ sen θ. Simplificando e reagrupando, chega-se à equação final do movimento do pêndulo simples:

+ (g / ℓ) sen θ = 0 #D.1#.

Exemplo 02: pêndulo e mola

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No exemplo da Figura 01 deste tópico, o pivô P de um pêndulo simples está em um bloco de massa desprezível que pode deslizar sem atrito sob ação de uma mola ideal de constante k.

A expressão grau de liberdade pode ser definida como o número de variáveis independentes necessário para especificar a posição (não o movimento) de todas as partes do sistema. No exemplo anterior há apenas um grau de liberdade e, neste, há dois: a coordenada x do ponto P e o ângulo θ da haste do pêndulo com a vertical.

As coordenadas x' da massa m é dada por x' = x + ℓ sen θ. E a sua coordenada vertical y = − ℓ cos θ.

As velocidades da massa m são v_x = + ℓ cos θ. v_y = ℓ sen θ.

A energia cinética do pêndulo é T = (1/2) m (v_x² + v_y²) = (1/2) m (² + ℓ^{2 2} + 2 ℓ cos θ ).

A energia potencial é dada por: U = (1/2) k x² − m g ℓ cos θ.

A primeira parcela se refere à energia potencial da mola e a segunda parcela é a energia potencial da massa m conforme exemplo anterior.

A lagrangiana é calculada por:

L(x, θ, , ) = T − U = (1/2) m (² + ℓ^{2 2} + 2 ℓ cos θ ) − (1/2) k x² + m g ℓ cos θ.

Observar que, neste exemplo, ela é função de 4 coordenadas (x, θ, , ) em vez das duas (θ, ) do exemplo anterior.

Fig 01

Para x, ∂L/∂ = m ( + ℓ cos θ ).

d(∂L/∂) dt = m +  m ℓ ( cos θ − ² sen θ).

∂L/∂x = − k x.

Para θ, ∂L/∂ = m ℓ (ℓ + cos θ).

d(∂L/∂) dt = m ℓ² + m ℓ ( cos θ − sen θ).

∂L/∂θ = − m ℓ sen θ − m g ℓ sen θ.


Obs: lembrar a regra geral para derivação de seno e co-seno: d(sen u)/dx = cos u du/dx. Também d(cos u)/dx = −sen u du/dx.

Fazendo as igualdades conforme #B.1# do tópico Lagrangiana e equação do movimento para cada par de variáveis nos resultados anteriores, obtém-se:

m + k x = m ℓ (2 sen θ − cos θ) #A.1#.

+ (g/ℓ) sen θ = − (/ℓ) cos θ #B.1#.

Portanto, o método é significativamente mais simples do que o uso direto das leis de Newton e coordenadas cartesianas. E o resultado pode ser confirmado pela introdução de restrições adequadas:

• Se o pêndulo é fixo, θ = constante e = = 0 e a equação #A.1# é o movimento harmônico de um sistema massa e mola.

• Se o ponto P não se move, x = constante e = = 0 e a igualdade #B.1# é o movimento do pêndulo simples conforme tópico anterior.