Lei da gravitação

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Sejam, conforme Figura 01, duas massas m₁ e m₂ que estão separadas de uma distância r. A interação gravitacional entre elas manifesta-se por uma força central de atração mútua F, cuja magnitude é diretamente proporcional às massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Fig 01

Esse princípio é conhecido como lei da gravitação universal de Newton.

Em termos matemáticos, essa lei é escrita na forma:

F = G m₁ m₂ / r² #A.1#.

Onde G é a constante de gravitação, cujo valor aproximado é

G ≈ 6,67 10⁻¹¹ N m² / kg².

O valor de G foi medido pela primeira vez pelo cientista inglês Henry Cavendish com o uso de uma balança de torção. Na página Eletricidade I-10, pode ser visto um arranjo similar para cargas elétricas.

Vale lembrar que G é possivelmente a constante física mais difícil de ser medida com exatidão. A atração gravitacional é muito pequena se comparada com outras forças naturais e não é possível isolar a influência das massas do sistema de medição. E não há relação com, por exemplo, forças elétricas ou magnéticas para uma medição indireta.

Para um corpo de massa m na superfície da Terra, consideram-se:

m₁ = M (massa da Terra).
m₂ = m (massa do corpo).
r = R (raio da Terra).

De acordo com a segunda lei de Newton, o peso P do corpo é igual a m g, onde g é a aceleração da gravidade. Mas o peso é a interação gravitacional. Assim,

m g = G M m / R². Portanto, M = g R² / G. Considerando g = 9,81 m/s², R = 6,37 10⁶ m e o valor de G anterior,

M = 9,81 6,37² 10¹² / (6,67 10⁻¹¹). Ou seja, massa da Terra ≈ 5,97 10²⁴ kg.

Fig 02

Um dos princípios de Kepler afirma que o quadrado do período (T) da órbita de um planeta é proporcional ao cubo da distância média (r) para o Sol, isto é, T² = k r³.

A fim de demonstrar a consistência desse princípio com a lei da gravitação, supõe-se o caso simples de uma órbita circular conforme Figura 02.

De acordo com relações da dinâmica, a força centrípeta F é calculada por:

F = m v² /r = m ω² r, onde ω é a velocidade angular.

Para o movimento circular, ω = 2 π / T. Substituindo, F = m 4 π² r / T². Usando o valor de T² = k r³,

F = m (4 π²/k) / r². Essa relação demonstra que a lei de Kepler e a lei da gravitação estão em harmonia, uma vez que a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Um pouco de história: o astrônomo, físico e matemático inglês, Sir Isac Newton, nasceu em 1642 na localidade de Woolsthorpe. Filho de agricultores pobres, em 1661 foi estudar em Cambridge. Em 1665 retornou à sua cidade natal e lá permaneceu por aproximadamente 2 anos, devido à peste que se espalhava pela Inglaterra. Nesse período forçado de recolhimento, ele imaginou e preparou vários estudos que, mais tarde, foram terminados e publicados e se tornaram algumas de suas maiores contribuições para a ciência, como a lei da gravitação, o movimento dos astros e outros.

Energia de um sistema gravitacional

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Consideram-se, conforme Figura 01 deste tópico, dois corpos de massa M e m tais que M >> m. O corpo de massa m descreve uma trajetória genérica, com velocidade v em relação a M. É o caso típico da Terra e de um satélite.

A energia cinética do sistema deve ser a soma da energia cinética de ambos os corpos. Supondo a referência em M e dado que M >> m, é possível demonstrar que a energia cinética vale aproximadamente:

Fig 01

E_c = (1/2) m v² #A.1#.

A variação infinitesimal da energia potencial é

dE_p = F dr = G M m dr / r².

Considerando nula a energia potencial no infinito,

E_p = ∫ dE_p = G M m ∫_∞,r dr/r² = − G M m / r.

E_p = − G M m / r. E a energia total é dada por E = E_c + E_p = (1/2) m v² − G M m / r #B.1#.

Fig 02

A demonstração matemática da relação entre a energia total e a geometria da trajetória não é dada aqui. São comentados apenas os resultados de acordo com a ilustração da Figura 02.

Se E > 0, a energia cinética é sempre maior que a potencial, significando que a massa m deve ter uma velocidade não nula no infinito e a trajetória é aberta em forma de hipérbole com vértice no ponto de maior aproximação.

Se E = 0, a energia cinética igual à potencial implica velocidade nula no infinito. A trajetória ainda é aberta, mas em forma de parábola.

Se E < 0, a energia cinética nunca terá valor suficiente para superar a energia potencial, que é decorrente da interação gravitacional. Assim, a órbita deverá ser fechada, em forma de elipse conforme indicado na figura.

Na situação E = 0, a velocidade correspondente de acordo com #B.1# é

v_e = √(2 G M / r) #C.1#.

Esse valor é denominado velocidade de escape e significa a menor velocidade que um corpo, lançado a uma distância r de M, deve ter para se libertar da ação gravitacional de M, ou seja, chegar ao infinito com velocidade nula.

Para a superfície da Terra, usando valores já vistos no tópico anterior, a velocidade de escape é

v_e = √(2 6,67 10⁻¹¹ 5,97 10²⁴ / 6,37 10⁶) ≈ 1,12 10⁴ m/s = 11,2 km/s.

Sem contar a resistência do ar, essa seria, por exemplo, a velocidade inicial, necessária para escapar da gravidade terrestre, de um projétil lançado da superfície. Notar que essa não é a velocidade que um foguete deve atingir para por um satélite em órbita ou conduzir uma sonda espacial.

Se um veículo tem propulsão própria, teoricamente pode escapar da gravidade com qualquer velocidade, desde que disponha de empuxo e combustível suficientes. Entretanto, devido a limitações práticas dos propulsores, em alguma altitude o objeto deverá atingir a velocidade de escape, que deverá ser menor que o valor acima porque, segundo #C.1#, ela diminui com o aumento da distância r.