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Dinâmica III-30


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Teorema do virial para uma partícula

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Seja, conforme Figura 01, uma partícula de massa m sujeita à ação de uma força F, com velocidade v e posição dada pelo vetor r. Define-se uma grandeza X tal que X = m v · r, ou seja, o produto da massa pelo produto escalar dos vetores v e r.

Considerando a propriedade da diferencial de um produto, a derivação em relação ao tempo é:

Partícula sujeita a uma força F e com velocidade v em um sistema S
Fig 01
dX/dt = m (dv/dt) · r + m v · (dr/dt).

Mas (dv/dt) = a (aceleração) e (dr/dt) = v (velocidade).

dX/dt = m a · r + m v2. Mas m a = F (força) e m v2 = 2 Ec (energia cinética).

dX/dt = F · r + 2 Ec. Se considerados valores médios, essa igualdade pode ser escrita na forma:

(dX/dt)av = (F · r)av + 2 (Ec)av #A.1#.

O valor médio, no intervalo 0 a T, de uma função genérica f(t) é dado por (1/T) ∫0,T f(t) dt. Portanto, para a derivada da grandeza X,

(dX/dt)av = (1/T) ∫0,T (dX/dt) dt = (1/T) ∫0,T dX = [ X(T) − X(0) ] / T.

Considera-se agora que o movimento da partícula é limitado pela região S indicada na figura. Então os valores de v e r serão também limitados e, para um intervalo T suficientemente grande, deve-se ter [ X(T) − X(0) ] / T quase nulo. Assim, pode-se dizer que, na condição t → ∞, o valor de (dX/dt)av é zero. Considerando isso na igualdade #A.1#,

(Ec)av = − (1/2) (F · r)av #B.1#. A expressão do lado direito é denominada virial da partícula.

Partícula sujeita a uma força central e conservativa
Fig 02
Supõe-se que a partícula está sujeita apenas à ação de uma força central e conservativa, conforme F da Figura 02.

Na página Dinâmica I-30 foi dado que, para esse caso, deve-se ter:

F = − dEp / dr, onde Ep é a energia potencial.

Em termos vetoriais, pode-se escrever F = − (dEp / dr) ur.

Onde ur é um vetor unitário na direção de r porque F e r estão na mesma linha. Substituindo na igualdade anterior e lembrando que ur · r = r, o resultado é:

(Ec)av = (1/2) [ r dEp/dr ]av #C.1#.

Exemplo: oscilação de um conjunto massa e mola
Fig 03
Seja um exemplo prático: um sistema massa-mola que oscila em relação à posição de equilíbrio conforme Figura 03.

Na página Vibrações mecânicas I-10, foi dada a equação diferencial do deslocamento x em relação ao tempo:

m d2x/dt2 = − kx, onde k é a constante da mola. A solução é

x = A sen (ωt + φ).

Onde A é a amplitude da oscilação, ω = √(k/m) é a velocidade angular e φ, o ângulo inicial do deslocamento.

Supondo por simplicidade φ = 0, a igualdade se reduz a x = A sen ωt.

Na página Dinâmica I-30, foi visto que a energia potencial de uma mola deformada de x é Ep = (1/2) k x2. Substituindo x pelo valor da igualdade anterior, Ep = (1/2) k A2 sen2ωt.

Da mesma igualdade pode-se ter a velocidade v = dx/dt = A ω cos ωt. E a energia cinética é calculada por:

Ec = (1/2) m v2 = (1/2) m A2 ω2 cos2ωt = (1/2) m A2 [√(k/m)]2 cos2 ωt = (1/2) k A2 cos2ωt.

Para este exemplo, r da igualdade #C.1# equivale à distância x (a força atuante é central porque passa sempre por um mesmo ponto - qualquer ponto - na linha ao longo do eixo da mola). Portanto,

(Ec)av = (1/2) [ x dEp/dx ]av.

Mas dEp/dx = d [ (1/2) k x2 ]/dx = k x. Substituindo, (Ec)av = (1/2) [ k x2 ]av = (1/2) [ k A2 sen2ωt ]av. Este último valor é igual à energia potencial já calculada anteriormente.

Portanto, neste caso ocorre (Ec)av = (Ep)av. Notar que o resultado é coerente com os valores encontrados para a energia cinética e para a energia potencial:

Ec = (1/2) k A2 cos2ωt.
Ep = (1/2) k A2 sen2ωt.

Para um tempo t longo, os valores médios de cos2ωt e de sen2ωt são idênticos, o que confirma a igualdade anterior.



Teorema do virial para um sistema de partículas

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O conceito de virial pode ser estendido para um sistema de várias partículas. Por simplicidade, considera-se inicialmente um conjunto de duas partículas de massas m1 e m2 conforme indicado na Figura 01 abaixo. Então, a grandeza X do tópico anterior é definida de forma similar:

X = m1 v1 · r1 + m2 v2 · r2.

dX/dt = m1 (dv1/dt) · r1 + m1 v1 · (dr1/dt) + m2 (dv2/dt) · r2 + m2 v2 · (dr2/dt).

Duas partículas em um sistema S
Fig 01
Considerando as relações a = dv/dt e v = dr/dt,

dX/dt = m1 a1 · r1 + m2 a2 · r2 + m1 v12 + m2 v22.

As duas últimas parcelas correspondem ao dobro da energia cinética do conjunto, de forma similar à do tópico anterior.

dX/dt = m1 a1 · r1 + m2 a2 · r2 + 2 Ec.

Em cada partícula, ocorre a ação de uma força externa e de forças de interação entre partículas (F1 e F12 para a partícula 1 por exemplo).

Então, o produto massa x aceleração de cada partícula deve ser igual à resultante dessas forças:

m1 a1 = F1 + F12 e m2 a2 = F2 + F21. Mas F21 = − F12. Assim, m2 a2 = F2F12.

m1 a1 · r1 + m2 a2 · r2 = (F1 + F12) · r1 + (F2F12) · r2 = F1 · r1 + F2 · r2 + F12 · (r1r2). Mas (r1r2) = r12.

m1 a1 · r1 + m2 a2 · r2 = F1 · r1 + F2 · r2 + F12 · r12. Substituindo na igualdade anterior,

dX/dt = (F1 · r1 + F2 · r2 + F12 · r12) + 2 Ec.

Supondo que o movimento das partículas é limitado pelo espaço S, usa-se o mesmo raciocínio do tópico anterior para concluir que o valor médio de dX/dt deve ser nulo. Portanto,

(Ec)av = − (1/2) (F1 · r1 + F2 · r2 + F12 · r12)av #A.1#.

Essa igualdade permite uma analogia para um número qualquer de partículas:

(Ec)av = − (1/2) ( ∑(cada) Fi · ri + ∑(pares) Fjk · rjk)av #B.1#. A expressão do lado direito é denominada virial do sistema de partículas.


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