Teorema do virial para uma partícula

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Seja, conforme Figura 01, uma partícula de massa m sujeita à ação de uma força F, com velocidade v e posição dada pelo vetor r. Define-se uma grandeza X tal que X = m v · r, ou seja, o produto da massa pelo produto escalar dos vetores v e r.

Considerando a propriedade da diferencial de um produto, a derivação em relação ao tempo é:

Fig 01

dX/dt = m (dv/dt) · r + m v · (dr/dt).

Mas (dv/dt) = a (aceleração) e (dr/dt) = v (velocidade).

dX/dt = m a · r + m v². Mas m a = F (força) e m v² = 2 E_c (energia cinética).

dX/dt = F · r + 2 E_c. Se considerados valores médios, essa igualdade pode ser escrita na forma:

(dX/dt)_av = (F · r)_av + 2 (E_c)_av #A.1#.

O valor médio, no intervalo 0 a T, de uma função genérica f(t) é dado por (1/T) ∫_0,T f(t) dt. Portanto, para a derivada da grandeza X,

(dX/dt)_av = (1/T) ∫_0,T (dX/dt) dt = (1/T) ∫_0,T dX = [ X(T) − X(0) ] / T.

Considera-se agora que o movimento da partícula é limitado pela região S indicada na figura. Então os valores de v e r serão também limitados e, para um intervalo T suficientemente grande, deve-se ter [ X(T) − X(0) ] / T quase nulo. Assim, pode-se dizer que, na condição t → ∞, o valor de (dX/dt)_av é zero. Considerando isso na igualdade #A.1#,

(E_c)_av = − (1/2) (F · r)_av #B.1#. A expressão do lado direito é denominada virial da partícula.

Fig 02

Supõe-se que a partícula está sujeita apenas à ação de uma força central e conservativa, conforme F da Figura 02.

Na página Dinâmica I-30 foi dado que, para esse caso, deve-se ter:

F = − dE_p / dr, onde E_p é a energia potencial.

Em termos vetoriais, pode-se escrever F = − (dE_p / dr) u_r.

Onde u_r é um vetor unitário na direção de r porque F e r estão na mesma linha. Substituindo na igualdade anterior e lembrando que u_r · r = r, o resultado é:

(E_c)_av = (1/2) [ r dE_p/dr ]_av #C.1#.

Fig 03

Seja um exemplo prático: um sistema massa-mola que oscila em relação à posição de equilíbrio conforme Figura 03.

Na página Vibrações mecânicas I-10, foi dada a equação diferencial do deslocamento x em relação ao tempo:

m d²x/dt² = − kx, onde k é a constante da mola. A solução é

x = A sen (ωt + φ).

Onde A é a amplitude da oscilação, ω = √(k/m) é a velocidade angular e φ, o ângulo inicial do deslocamento.

Supondo por simplicidade φ = 0, a igualdade se reduz a x = A sen ωt.

Na página Dinâmica I-30, foi visto que a energia potencial de uma mola deformada de x é E_p = (1/2) k x². Substituindo x pelo valor da igualdade anterior, E_p = (1/2) k A² sen²ωt.

Da mesma igualdade pode-se ter a velocidade v = dx/dt = A ω cos ωt. E a energia cinética é calculada por:

E_c = (1/2) m v² = (1/2) m A² ω² cos²ωt = (1/2) m A² [√(k/m)]² cos² ωt = (1/2) k A² cos²ωt.

Para este exemplo, r da igualdade #C.1# equivale à distância x (a força atuante é central porque passa sempre por um mesmo ponto - qualquer ponto - na linha ao longo do eixo da mola). Portanto,

(E_c)_av = (1/2) [ x dEp/dx ]_av.

Mas dE_p/dx = d [ (1/2) k x² ]/dx = k x. Substituindo, (E_c)_av = (1/2) [ k x² ]_av = (1/2) [ k A² sen²ωt ]_av. Este último valor é igual à energia potencial já calculada anteriormente.

Portanto, neste caso ocorre (E_c)_av = (E_p)_av. Notar que o resultado é coerente com os valores encontrados para a energia cinética e para a energia potencial:

E_c = (1/2) k A² cos²ωt.
E_p = (1/2) k A² sen²ωt.

Para um tempo t longo, os valores médios de cos²ωt e de sen²ωt são idênticos, o que confirma a igualdade anterior.

Teorema do virial para um sistema de partículas

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O conceito de virial pode ser estendido para um sistema de várias partículas. Por simplicidade, considera-se inicialmente um conjunto de duas partículas de massas m₁ e m₂ conforme indicado na Figura 01 abaixo. Então, a grandeza X do tópico anterior é definida de forma similar:

X = m₁ v₁ · r₁ + m₂ v₂ · r₂.

dX/dt = m₁ (dv₁/dt) · r₁ + m₁ v₁ · (dr₁/dt) + m₂ (dv₂/dt) · r₂ + m₂ v₂ · (dr₂/dt).

Fig 01

Considerando as relações a = dv/dt e v = dr/dt,

dX/dt = m₁ a₁ · r₁ + m₂ a₂ · r₂ + m₁ v₁² + m₂ v₂².

As duas últimas parcelas correspondem ao dobro da energia cinética do conjunto, de forma similar à do tópico anterior.

dX/dt = m₁ a₁ · r₁ + m₂ a₂ · r₂ + 2 E_c.

Em cada partícula, ocorre a ação de uma força externa e de forças de interação entre partículas (F₁ e F₁₂ para a partícula 1 por exemplo).

Então, o produto massa x aceleração de cada partícula deve ser igual à resultante dessas forças:

m₁ a₁ = F₁ + F₁₂ e m₂ a₂ = F₂ + F₂₁. Mas F₂₁ = − F₁₂. Assim, m₂ a₂ = F₂ − F₁₂.

m₁ a₁ · r₁ + m₂ a₂ · r₂ = (F₁ + F₁₂) · r₁ + (F₂ − F₁₂) · r₂ = F₁ · r₁ + F₂ · r₂ + F₁₂ · (r₁ − r₂). Mas (r₁ − r₂) = r₁₂.

m₁ a₁ · r₁ + m₂ a₂ · r₂ = F₁ · r₁ + F₂ · r₂ + F₁₂ · r₁₂. Substituindo na igualdade anterior,

dX/dt = (F₁ · r₁ + F₂ · r₂ + F₁₂ · r₁₂) + 2 E_c.

Supondo que o movimento das partículas é limitado pelo espaço S, usa-se o mesmo raciocínio do tópico anterior para concluir que o valor médio de dX/dt deve ser nulo. Portanto,

(E_c)_av = − (1/2) (F₁ · r₁ + F₂ · r₂ + F₁₂ · r₁₂)_av #A.1#.

Essa igualdade permite uma analogia para um número qualquer de partículas:

(E_c)_av = − (1/2) ( ∑_(cada) F_i · r_i + ∑_(pares) F_jk · r_jk)_av #B.1#. A expressão do lado direito é denominada virial do sistema de partículas.