Energia interna de um sistema de partículas

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Na página anterior, foi dada a relação entre a variação de energia cinética (Δ E_c) com o trabalho de forças externas (W_ext) e o de forças internas (W_int):

ΔE_c = W_ext + W_int. E a expressão de W_int é dada por W_int = ∫ F₁₂ dr₁₂.

Pode-se escrever Δ E_c − ∫ F₁₂ dr₁₂ = W_ext. Notar que a expressão da integral é dependente apenas da força entre as partículas e da distância entre as mesmas. Por analogia, isso sugere uma variação de energia potencial e pode-se então definir:

U_prop = E_c + E_p e escrever ΔU = W_ext #A.1#.

A grandeza U é denominada energia própria do sistema e a igualdade é o princípio da conservação da energia aplicado ao sistema de partículas, ou seja, o trabalho executado por forças externas é igual à variação de energia própria do sistema.

A parcela de energia potencial não depende da origem das coordenadas porque é dada em função da distância entre partículas. A energia cinética é dependente da velocidade e, portanto, pode variar de acordo com o sistema de coordenadas. Se o centro de massa é escolhido como origem,

U_int = E_c(cm) + E_p #B.1#.

Assim definido, U é denominado energia interna do sistema. Em geral, quando se refere a energia de um sistema, supõe-se sua energia interna.

Para um sistema isolado, W_ext = 0 e, portanto, a energia interna e a energia própria são constantes.

De forma similar às relações vistas na página anterior para o momento angular, pode-se estabelecer a relação entre energia própria e interna:

U_prop = U_int + (1/2) M v_cm² #C.1#. Onde M é a massa total do sistema e v_cm a velocidade do centro de massa. A demonstração matemática é simples e aqui não é dada.

Choque (elástico / inelástico) de partículas

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Considera-se choque a interação entre partículas, que resulta em troca de momento, massa ou energia. Nesse conceito, o contato físico não é essencial. Pode ocorrer ou não. Exemplo: uma partícula pode sofre ação elétrica, magnética ou gravitacional de outra sem toque mútuo. Em geral, o choque sem contato é chamado de desvio.

A Figura 01 dá a representação gráfica de um choque genérico entre duas partículas. Considerando um sistema formado por essas partículas, nota-se que não há ação de forças externas e, portanto, momento e energia são constantes. As massas não são necessariamente as mesmas depois do choque. Pode haver troca de massa entre as partículas. Isso é mais usual no caso de partículas atômicas.

Fig 01

Da conservação dos momentos: b₁ + b₂ = b₁' + b₂' #A.1#.

Pela conservação da energia: E_c + E_p = E_c' + E_p'.

Ou E_c' − E_c = E_p − E_p' = E.

Ou seja, a grandeza E é a variação de energia cinética, que deve ser igual à variação de energia potencial.


Representando a energia cinética em termos de massa e velocidade,

E = (1/2) m₁ v₁'² + (1/2) m₂ v₂'² − (1/2) m₁ v₁² − (1/2) m₂ v₂² #B.1#.

Se E = 0, não há variação de energia cinética e o processo é denominado choque elástico.

Se E ≠ 0, ocorre o choque inelástico, podendo haver um decréscimo (E < 0) ou um acréscimo da energia cinética (E > 0). Em ambos os casos, a variação é compensada pela variação da energia potencial interna para obedecer ao princípio da conservação da energia.

Fig 02

Considera-se agora o caso particular de m₂ em repouso conforme (a) da Figura 02. Após o choque, há uma situação como em (b).

Da conservação do momento linear, b₁' + b₂' = b₁ ou b₂' = b₁ − b₁'.

Por definição, b = m v. Assim, v² = b²/m². Substituindo os respectivos valores na igualdade anterior para a conservação de energia (#B.1#),

E = b₁'² / (2 m₁') + b₂'² / (2 m₂') − b₁² / (2 m₁).

Se o choque é elástico (E = 0) e as massas são iguais e se mantém, isto é, m₁ = m₂ = m₁' = m₂',

Fig 03

b₁² = b₁'² + b₂'².

Da conservação de momentos, b₁ = b₁' + b₂'.

Na página Vetores I-10 pode ser visto que essa soma é:

b₁² = b₁'² + b₂'² + 2 b₁' . b₂'.

Com a relação anterior (b₁² = b₁'² + b₂'²), pode-se concluir que o produto escalar b₁' . b₂' deve ser nulo.

Produto escalar nulo significa que os vetores b₁' e b₂' fazem ângulo de 90º. E um exemplo prático para isso é a trajetória após o choque de duas bolas em uma mesa de bilhar (Figura 03).

Notar que a suposição de m₂ em repouso, apesar de ser um caso particular, pode ser estendida para qualquer caso. Basta considerar o sistema de coordenadas fixo em m₂ e ajustar os demais parâmetros para essa condição.

Alguns exemplos de choque elástico

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As figuras deste tópico dão exemplos de choques elásticos frontais, isto é, a geometria do choque é tal que os movimentos estão no mesmo alinhamento. Assim, é possível usar apenas valores escalares nas expressões. Supõe-se também que as massas de cada partícula permanecem inalteradas após o choque (m₁ = m₁' e m₂ = m₂').

Fig 01

Conservação de momento: m₁ v₁ = m₁ v₁' + m₂ v₂'.

Conservação de energia: (1/2) m₁ v₁² = (1/2) m₁ v₁'² + (1/2) m₂' v₂'².

Considerando a igualdade matemática a² − b² = (a + b) (a − b), tem-se:

m₁ (v₁ − v₁') (v₁ + v₁') = m₂ v₂'².

Fig 02

Da anterior (momento), m₁ (v₁ − v₁') = m₂ v₂'.

Substituindo,

v₁ + v₁' = v₂'.

Substituindo na anterior,

Fig 03

v₁' = [ (m₁ − m₂) / (m₁ + m₂) ] v₁.

v₂' = [ 2 m₁ / (m₁ + m₂) ] v₁.

E essas duas igualdades permitem deduzir resultados para diferentes relações entre m₁ e m₂ conforme Figuras 01, 02 e 03.

Exemplo de choque inelástico: pêndulo balístico

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Já visto que, no choque elástico, a energia cinética total se mantém constante. É claro que, nos processos reais, isso não ocorre rigorosamente, Há sempre uma variação. Mas, em vários casos, ela é tão pequena que pode ser desprezada.

Considera-se agora do choque inelástico. Naturalmente, a lei da conservação da energia continua válida, mas a parcela de energia cinética não é mais constante. Há transformação em outras formas de energia, como calor, ondas de choque, etc. Mas isso, em geral, não pode ser facilmente quantificado e pouco ajuda a determinação dos parâmetros após o choque.

Fig 01

Um caso extremo de choque inelástico é aquele em que as duas massas permanecem unidas após o choque como se fossem um corpo único. E o cálculo é possível através da lei da conservação dos momentos.

O pêndulo balístico é um arranjo simples, usado basicamente para medição da velocidade de projéteis disparados por armas de fogo.

Na Figura 01 (a), um projétil de massa m₁ e velocidade v₁ é disparado contra um pêndulo em repouso de massa m₂. Logo após o choque - (b) da figura - o projétil penetra no pêndulo, mas não o atravessa, formando um corpo único com velocidade v'.

A energia cinética não se conserva porque uma parte é transformada em calor pelo atrito do projétil com o material do pêndulo. Mas pode-se usar a lei da conservação do momento para determinar a relação entre v₁ e v':

m₁ v₁ + m₂ v₂ = m' v'. Ou m₁ v₁ + m₂ 0 = (m₁ + m₂) v'. Assim, v₁ = v' (m₁ + m₂) / m₁.

Entre (b) e (c), há uma massa única sob ação de força conservativa (gravidade). Assim, a conservação da energia é expressa pela simples soma da energia cinética com a energia potencial:

(1/2) m' v'² + 0 = 0 + m' g h ou v' = √ (2 g h). Substituindo na anterior,

v₁ = [ √ (2 g h) ] (m₁ + m₂) / m₁. Ou seja, a velocidade do projétil é determinada em função de parâmetros medidos ou supostamente conhecidos:

g: aceleração da gravidade.
h: altura máxima alcançada pelo pêndulo.
m₁: massa do projétil.
m₂: massa do pêndulo.