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Dinâmica III-10


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Introdução

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Seja, conforme Figura 01, um sistema S formado por um número qualquer de partículas. Tem-se, portanto, as partículas 1, 2, etc com massas m1, m2, etc, vetores de posições em relação a um sistema de coordenadas r1, r2, etc e velocidades v1, v2, etc. Uma partícula genérica i tem massa mi, posição ri e velocidade vi.

Seja M a soma de todas as massas, isto é, M = ∑ mi. Por definição, as coordenadas do centro de massa rcm do sistema são dadas por:

rcm = ( ∑ mi ri ) / M #A.1#.

Pela definição de velocidade, para cada partícula vale vi = dri / dt. Então, a velocidade do centro de massa vcm é dada por:

Sistema de partículas e centro de massa do sistema
Fig 01
vcm = d(rcm)/dt = (∑ mi dri / dt) / M.

v cm = ( ∑ mi vi ) / M #B.1#.

Também por definição, o momento linear bi de cada partícula é

bi = mi vi. Combinando com a igualdade anterior, pode-se facilmente chegar a

b = M vcm #C.1#, onde b = ∑ bi é o momento linear total do sistema.

Por analogia com a definição anterior de momento para uma partícula, pode-se concluir que o sistema se comporta como uma partícula única de massa M, no centro de gravidade e com velocidade vcm.

Em (b) da Figura 01, há a analogia gráfica dessa relação. Um corpo real pode ser considerado um sistema de partículas elementares. Se é dito velocidade de um objeto por exemplo, em geral fica implícito que ela se refere a vcm.

Notar que, se o sistema de coordenadas tem origem no centro de massa e se move com o mesmo, ocorre vcm = 0 e, portanto, b = 0.

Se o sistema é isolado, conforme já visto em Dinâmica I-10, o momento linear é constante (b = constante).

Supõe-se agora que o sistema S interage com outro sistema S' como em (a) da Figura 02. É suposto também que os dois sistemas em conjunto formam um sistema isolado. Isso tem muitas analogias práticas. Por exemplo, S pode ser o sistema solar e S' o restante do Universo.

Se o conjunto é um sistema isolado, a soma dos momentos é constante b = bS + bS' = constante. Derivando em relação ao tempo, dbS / dt = − dbS' / dt. Mas a derivada do momento linear em relação ao tempo é a força atuante, conforme já visto em Dinâmica I-10. Então, é possível considerar que a variação do momento é a força externa atuante no sistema S:

dbS / dt = Fext ou Fext = M dvcm / dt = M acm #D.1#. Onde acm é a aceleração do centro de massa.

Pode-se, portanto, dizer que o centro de massa de um sistema se move como se fosse uma partícula de massa M sujeita à força externa aplicada ao mesmo.

Interação de dois sistemas de partículas
Fig 02
Por simplicidade, supõe-se que o sistema S contém apenas duas partículas, como em (b) da mesma figura. Naturalmente, deve-se ter:

F12 = − F21.

Ora, a resultante das forças que atuam em uma partícula deve ser igual a db/dt como já visto em Dinâmica I-10.

db1 / dt = F1 + F12 e db2 / dt = F2 + F21. Combinando com a igualdade anterior,

db / dt = d(b1 + b2) / dt = F1 + F2.

Generalizando para um número qualquer de partículas,

db / dt = Fext = ∑ Fi #E.1#.

Onde Fi são as forças externas atuantes em cada partícula. Pode-se então dizer que a força externa total é igual à soma das forças externas em cada partícula.

Essa igualdade pode levar a algumas conclusões práticas. Supõe-se, por exemplo, que uma granada é arremessada e explode no ar. Desprezam-se a resistência do ar e a perda do material explosivo. Próximo da superfície terrestre, a aceleração da gravidade pode ser considerada constante. Assim, as forças externas atuantes em cada fragmento são as mesmas de antes da explosão e, portanto, o centro de massa dos fragmentos deve seguir a trajetória que havia antes da explosão. Notar que, se as distâncias são grandes como em um corpo celeste, isso deixa de ser verdadeiro porque as forças gravitacionais variam significativamente.



Momento angular de um sistema de partículas

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Na página Dinâmica I-20 já foi dada a definição de momento angular L para uma partícula:

L = r × b = m (r × v) #A.1#. Visto também que dL / dt = r × F = τ #B.1#, onde τ é o torque.

Considera-se por simplicidade um conjunto de duas partículas sujeitas a forças internas e externas conforme Figura 01. E os torques atuantes em cada partícula são τ1 = dL1 / dt e τ2 = dL2 / dt. Somando as igualdades,

τ1 + τ2 = d( L1 + L2 ) / dt #C.1#. Desde que a força total em cada partícula é a soma da interna com a externa, pode-se considerar a igualdade #B.1#:

Sistema de duas partículas sujeitas a forças internas e externas
Fig 01
τ1 = r1 × (F1 + F12) = r1 × F1 + r1 × F12.
τ2 = r2 × (F2 + F21) = r2 × F2 + r2 × F21.

Já visto que F12 = − F21. Somando as igualdades,

τ1 + τ2 = r1 × F1 + r2 x F2 + (r2r1) x F21.

Ora, r2r1 = r21 e está no mesmo alinhamento de F21. Portanto, o produto vetorial é nulo.

τ1 + τ2 = r1 × F1 + r2 x F2. Combinando com #C.1#,

τ1 + τ2 = d( L1 + L2 ) / dt = r1 × F1 + r2 × F2 = τ1ext + τ2 ext. E pode-se supor para um número qualquer de partículas:

dL / dt = τext. onde L = ∑ Li e τext = ∑ τi,ext #D.1#. Portanto, a variação do momento angular total de um conjunto de partículas é igual à soma dos torques exercidos pelas forças externas em cada partícula.

Supõe-se agora um sistema isolado, isto é, sem forças externas. Assim. τexterno = 0 e dL / dt = 0. Isso significa que

L = ∑ Li = constante #E.1#. Ou seja, o momento angular total de um sistema isolado é constante.

Notar que o momento angular é definido em relação a uma determinada origem (0 na Figura 01). Se essa origem é o centro de massa, designa-se o momento em relação à mesma Lcm. Em relação a 0, a posição do centro de massa é rcm, a velocidade vcm e a massa M conforme já visto. E a seguinte relação pode ser facilmente deduzida:

L = Lcm + M rcm × vcm #F.1#. E de forma similar para o torque:

τext = τcm + rcm × Fext #G.1#. Onde τcm é torque externo relativo ao centro de massa.

Também a relação: dLcm / dt = τcm #H.1#.



Energia cinética de um sistema de partículas

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Também por simplicidade, considera-se um conjunto de duas partículas conforme Figura 01. Cada partícula sofre ação de forças internas e externas e as trajetórias são supostamente as curvas 1 e 2. Assim, as velocidades de cada são vetores tangentes a essas curvas.

Num intervalo infinitesimal, os deslocamentos das partículas são vetores dr1 e dr2 também tangentes às curvas. Desde que trabalho é o produto escalar de força e deslocamento, pode-se calcular para cada partícula:

Sistema genérico de duas partículas
Fig 01
W1 = m1 a1 dr1 = (F1 + F12) dr1 = F1 dr1 + F12 dr1.

W2 = m2 a2 dr2 = (F2 + F21) dr2 = F2 dr2 + F21 dr2.

Onde a1 e a2 são os vetores de aceleração de cada partícula (não indicados na figura).

Mas a1 dr1 = (dv1/dt) dr1 = dv1 (dr1/dt) = dv1 v1 = dv1 v1 (porque ambos os vetores estão no mesmo alinhamento) e de forma análoga para a outra partícula. Considerando também que F12 = − F21 e dr1 − dr2 = dr12 e somando as igualdades,

W1 + W2 = m1 a1 dr1 + m2 a2 dr2 = m1 v1 dv1 + m2 v2 dv2.

W1 + W2 = F1 dr1 + F2 dr2 + F12 dr12.

m1 v1 dv1 + m2 v2 dv2 = F1 dr1 + F2 dr2 + F12 dr12. Se feita a integração de ambos os lados, chega-se a

Δ [ (1/2) m1 v12 + (1/2) m2 v22 ] = ∫ (F1 dr1 + F2 dr2) + ∫ F12 dr12 #A.1#.

Já visto em Dinâmica I-20 que o termo (1/2) m v2 é a energia cinética da partícula, que se denomina Ec. E a primeira integral do lado direito da igualdade é o trabalho das forças externas e a segunda, das forças internas. Pode-se, portanto, escrever

Δ Ec = Wext + Wint #B.1#.

Generalizando para um número qualquer de partículas, pode-se dizer que a variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual à soma do trabalho das forças externas com o trabalho das forças internas.


Última atualização ou revisão: Dez/2007 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |
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