Introdução

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Seja, conforme Figura 01, um sistema S formado por um número qualquer de partículas. Tem-se, portanto, as partículas 1, 2, etc com massas m₁, m₂, etc, vetores de posições em relação a um sistema de coordenadas r₁, r₂, etc e velocidades v₁, v₂, etc. Uma partícula genérica i tem massa m_i, posição r_i e velocidade v_i.

Seja M a soma de todas as massas, isto é, M = ∑ m_i. Por definição, as coordenadas do centro de massa r_cm do sistema são dadas por:

r_cm = ( ∑ m_i r_i ) / M #A.1#.

Pela definição de velocidade, para cada partícula vale v_i = dr_i / dt. Então, a velocidade do centro de massa v_cm é dada por:

Fig 01

v_cm = d(r_cm)/dt = (∑ m_i dr_i / dt) / M.

v _cm = ( ∑ m_i v_i ) / M #B.1#.

Também por definição, o momento linear b_i de cada partícula é

b_i = m_i v_i. Combinando com a igualdade anterior, pode-se facilmente chegar a

b = M v_cm #C.1#, onde b = ∑ b_i é o momento linear total do sistema.

Por analogia com a definição anterior de momento para uma partícula, pode-se concluir que o sistema se comporta como uma partícula única de massa M, no centro de gravidade e com velocidade v_cm.

Em (b) da Figura 01, há a analogia gráfica dessa relação. Um corpo real pode ser considerado um sistema de partículas elementares. Se é dito velocidade de um objeto por exemplo, em geral fica implícito que ela se refere a v_cm.

Notar que, se o sistema de coordenadas tem origem no centro de massa e se move com o mesmo, ocorre v_cm = 0 e, portanto, b = 0.

Se o sistema é isolado, conforme já visto em Dinâmica I-10, o momento linear é constante (b = constante).

Supõe-se agora que o sistema S interage com outro sistema S' como em (a) da Figura 02. É suposto também que os dois sistemas em conjunto formam um sistema isolado. Isso tem muitas analogias práticas. Por exemplo, S pode ser o sistema solar e S' o restante do Universo.

Se o conjunto é um sistema isolado, a soma dos momentos é constante b = b_S + b_S' = constante. Derivando em relação ao tempo, db_S / dt = − db_S' / dt. Mas a derivada do momento linear em relação ao tempo é a força atuante, conforme já visto em Dinâmica I-10. Então, é possível considerar que a variação do momento é a força externa atuante no sistema S:

db_S / dt = F_ext ou F_ext = M dv_cm / dt = M a_cm #D.1#. Onde a_cm é a aceleração do centro de massa.

Pode-se, portanto, dizer que o centro de massa de um sistema se move como se fosse uma partícula de massa M sujeita à força externa aplicada ao mesmo.

Fig 02

Por simplicidade, supõe-se que o sistema S contém apenas duas partículas, como em (b) da mesma figura. Naturalmente, deve-se ter:

F₁₂ = − F₂₁.

Ora, a resultante das forças que atuam em uma partícula deve ser igual a db/dt como já visto em Dinâmica I-10.

db₁ / dt = F₁ + F₁₂ e db₂ / dt = F₂ + F₂₁. Combinando com a igualdade anterior,

db / dt = d(b₁ + b₂) / dt = F₁ + F₂.

Generalizando para um número qualquer de partículas,

db / dt = F_ext = ∑ F_i #E.1#.

Onde F_i são as forças externas atuantes em cada partícula. Pode-se então dizer que a força externa total é igual à soma das forças externas em cada partícula.

Essa igualdade pode levar a algumas conclusões práticas. Supõe-se, por exemplo, que uma granada é arremessada e explode no ar. Desprezam-se a resistência do ar e a perda do material explosivo. Próximo da superfície terrestre, a aceleração da gravidade pode ser considerada constante. Assim, as forças externas atuantes em cada fragmento são as mesmas de antes da explosão e, portanto, o centro de massa dos fragmentos deve seguir a trajetória que havia antes da explosão. Notar que, se as distâncias são grandes como em um corpo celeste, isso deixa de ser verdadeiro porque as forças gravitacionais variam significativamente.

Momento angular de um sistema de partículas

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Na página Dinâmica I-20 já foi dada a definição de momento angular L para uma partícula:

L = r × b = m (r × v) #A.1#. Visto também que dL / dt = r × F = τ #B.1#, onde τ é o torque.

Considera-se por simplicidade um conjunto de duas partículas sujeitas a forças internas e externas conforme Figura 01. E os torques atuantes em cada partícula são τ₁ = dL₁ / dt e τ₂ = dL₂ / dt. Somando as igualdades,

τ₁ + τ₂ = d( L₁ + L₂ ) / dt #C.1#. Desde que a força total em cada partícula é a soma da interna com a externa, pode-se considerar a igualdade #B.1#:

Fig 01

τ₁ = r₁ × (F₁ + F₁₂) = r₁ × F₁ + r₁ × F₁₂.
τ₂ = r₂ × (F₂ + F₂₁) = r₂ × F₂ + r₂ × F₂₁.

Já visto que F₁₂ = − F₂₁. Somando as igualdades,

τ₁ + τ₂ = r₁ × F₁ + r₂ x F₂ + (r₂ − r₁) x F₂₁.

Ora, r₂ − r₁ = r₂₁ e está no mesmo alinhamento de F₂₁. Portanto, o produto vetorial é nulo.

τ₁ + τ₂ = r₁ × F₁ + r₂ x F₂. Combinando com #C.1#,

τ₁ + τ₂ = d( L₁ + L₂ ) / dt = r₁ × F₁ + r₂ × F₂ = τ_1ext + τ_{2 ext}. E pode-se supor para um número qualquer de partículas:

dL / dt = τ_ext. onde L = ∑ L_i e τ_ext = ∑ τ_i,ext #D.1#. Portanto, a variação do momento angular total de um conjunto de partículas é igual à soma dos torques exercidos pelas forças externas em cada partícula.

Supõe-se agora um sistema isolado, isto é, sem forças externas. Assim. τ_externo = 0 e dL / dt = 0. Isso significa que

L = ∑ L_i = constante #E.1#. Ou seja, o momento angular total de um sistema isolado é constante.

Notar que o momento angular é definido em relação a uma determinada origem (0 na Figura 01). Se essa origem é o centro de massa, designa-se o momento em relação à mesma L_cm. Em relação a 0, a posição do centro de massa é r_cm, a velocidade v_cm e a massa M conforme já visto. E a seguinte relação pode ser facilmente deduzida:

L = L_cm + M r_cm × v_cm #F.1#. E de forma similar para o torque:

τ_ext = τ_cm + r_cm × F_ext #G.1#. Onde τ_cm é torque externo relativo ao centro de massa.

Também a relação: dL_cm / dt = τ_cm #H.1#.

Energia cinética de um sistema de partículas

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Também por simplicidade, considera-se um conjunto de duas partículas conforme Figura 01. Cada partícula sofre ação de forças internas e externas e as trajetórias são supostamente as curvas 1 e 2. Assim, as velocidades de cada são vetores tangentes a essas curvas.

Num intervalo infinitesimal, os deslocamentos das partículas são vetores dr₁ e dr₂ também tangentes às curvas. Desde que trabalho é o produto escalar de força e deslocamento, pode-se calcular para cada partícula:

Fig 01

W₁ = m₁ a₁ dr₁ = (F₁ + F₁₂) dr₁ = F₁ dr₁ + F₁₂ dr₁.

W₂ = m₂ a₂ dr₂ = (F₂ + F₂₁) dr₂ = F₂ dr₂ + F₂₁ dr₂.

Onde a₁ e a₂ são os vetores de aceleração de cada partícula (não indicados na figura).

Mas a₁ dr₁ = (dv₁/dt) dr₁ = dv₁ (dr₁/dt) = dv₁ v₁ = dv₁ v₁ (porque ambos os vetores estão no mesmo alinhamento) e de forma análoga para a outra partícula. Considerando também que F₁₂ = − F₂₁ e dr₁ − dr₂ = dr₁₂ e somando as igualdades,

W₁ + W₂ = m₁ a₁ dr₁ + m₂ a₂ dr₂ = m₁ v₁ dv₁ + m₂ v₂ dv₂.

W₁ + W₂ = F₁ dr₁ + F₂ dr₂ + F₁₂ dr₁₂.

m₁ v₁ dv₁ + m₂ v₂ dv₂ = F₁ dr₁ + F₂ dr₂ + F₁₂ dr₁₂. Se feita a integração de ambos os lados, chega-se a

Δ [ (1/2) m₁ v₁² + (1/2) m₂ v₂² ] = ∫ (F₁ dr₁ + F₂ dr₂) + ∫ F₁₂ dr₁₂ #A.1#.

Já visto em Dinâmica I-20 que o termo (1/2) m v² é a energia cinética da partícula, que se denomina E_c. E a primeira integral do lado direito da igualdade é o trabalho das forças externas e a segunda, das forças internas. Pode-se, portanto, escrever

Δ E_c = W_ext + W_int #B.1#.

Generalizando para um número qualquer de partículas, pode-se dizer que a variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual à soma do trabalho das forças externas com o trabalho das forças internas.