Corpo rígido

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Pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, mesmo sob aplicação de um esforço externo.

Fig 01

Os sólidos reais sempre se deformam sob aplicação de uma carga, mas em muitos casos ela é tão pequena que pode ser desprezada.

Nesta página são dadas algumas informações sobre o movimento dos corpos rígidos.

Um corpo rígido pode ter um movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias paralelas, como em (A) da Figura 01 ao lado.

Outro movimento possível é o de rotação, quando os pontos percorrem trajetórias circulares, como em (B) da mesma figura.

O caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no exemplo (C) da figura, ou seja, uma combinação de translação e rotação.

Momento de inércia

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Na Figura 01, um corpo rígido gira em torno de um eixo vertical y com velocidade angular ω. O momento angular, conforme visto em página anterior, de uma porção elementar de massa dm é dado por:

dL = dm R x v, onde v é a velocidade tangencial.

O módulo de R é r/sen α e o de v é ω r. Desde que dL e R são ortogonais, o módulo de dL é dado por:

dL = dm r ω r / sen α = dm r² ω / sen α. E o componente dL_y é dado por:

dL_y = dL cos( 90 - α) = dL sen α. E o módulo dL_y = dL sen α = (dm r² ω / sen α) sen α. Ou dL_y = dm r² ω.

Fazendo a integração para a massa total do corpo,

L_y = ( ∫ r² dm ) ω #A.1#.

Fig 01

O termo ∫ r² dm é denominado momento de inércia de massa I do corpo em relação ao eixo y. É uma grandeza importante no estudo da rotação de corpos rígidos. Portanto,

L_y = I_y ω #B.1#.

Observar que o momento de inércia depende da posição do eixo, da forma geométrica do corpo e da distribuição de massa (não só da massa total).

Exemplo: dois corpos de mesmo material e mesma forma podem ter momentos diferentes em relação ao mesmo eixo se um for homogêneo e outro tiver massa mais concentrada em um local.


O outro componente de L (L_x) não é aqui calculado, mas deve existir em princípio. Em geral, o momento angular L não é paralelo ao eixo de rotação. Entretanto, pode-se demonstrar que, para qualquer corpo, existem pelo menos 3 eixos perpendiculares entre si para os quais o momento angular é paralelo ao eixo.

Esses eixos são denominados eixos principais de inércia, designados por X₀, Y₀ e Z₀. E os respectivos momentos angulares são os momentos principais de inércia, I_x0, I_y0 e I_z0. Para um eixo principal, vale portanto a igualdade vetorial:

L = I ω #C.1#.

Se um corpo tem um eixo de simetria. ele é um eixo principal de inércia. Exemplo: para uma esfera homogênea, qualquer eixo que passa pelo centro é um eixo principal de inércia.

Para rotação fora de um eixo principal, o momento angular é dado por:

L = I_x0 ω_x0 + I_y0 ω_y0 + I_z0 ω_z0 #D.1#. Onde

ω_x0, ω_y0, ω_z0: projeções do vetor velocidade angular nos eixos principais.

A unidade do momento de inércia de massa no Sistema Internacional é o kg m². Existe conceito semelhante de momento de inércia aplicado a superfícies. Desde que superfícies não têm massa, a unidade elementar é uma área e o momento de inércia tem como unidade m⁴ (na prática, é mais usado cm⁴). Para mais informações, ver a página Seções planas deste site.

O teorema de Steiner é meio bastante útil para solução de vários casos: seja um corpo de massa M que tem um momento de inércia I' em relação a um eixo y'. Então, o momento de inércia I em relação a um eixo paralelo y situado a uma distância d de y' é dado por:

I = I' + M d² #E.1#.

Raio de giração

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É definido por K = (I / M)^1/2 #A.1#, onde M é a massa do corpo.

Pode ser entendido como a distância da qual uma massa concentrada de valor M produziria o mesmo momento de inércia.

Para corpos homogêneos, o raio de giração depende apenas de parâmetros geométricos. É uma forma prática de se especificar indiretamente o momento de inércia, de acordo com a forma do corpo. Nesta tabela, são dados os raios de giração para algumas formas comuns, considerados em relação aos eixos de simetria indicados.

Rotação do corpo rígido

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Conforme visto em página anterior, a relação entre momento angular e torque é T = dL/dt. E, da definição anterior de momento de inércia, L = I w. Substituindo,

I dw / dt = T. O termo dw/dt é a variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, a aceleração angular, que será designada por α. Assim,

T = I α #A.1#. Notar a semelhança com a relação para o movimento de translação, F = m a.

Notar também que, se o torque é nulo, a aceleração angular também é, pois o momento de inércia não é nulo num corpo real. Isso significa que a velocidade angular é constante.

Essas igualdades valem para rotação em torno de um eixo principal, que é a situação prática mais comum.

Tabela de fórmulas:

Translação		Rotação
Momento linear	b = m v	Momento angular	L = I ω
Força	F = db/dt	Torque	T = dL/dt
Força e aceleração	F = m a	Torque e aceleração angular	T = I α
Energia cinética	Ec = (1/2) m v2	Energia cinética	Ec = (1/2) I ω2
Potência	P = F · v	Potência	P = T · ω

A tabela acima faz uma comparação de grandeza para os dois movimentos. Algumas ainda não foram comentadas aqui (energia e potência), mas a analogia é evidente.