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Dinâmica I-50 Forças não conservativas


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Movimento de um corpo sólido em um fluido

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Considera-se neste tópico uma situação simples: a queda livre de um corpo sólido de massa m de formato esférico (raio R) em um fluido de viscosidade dinâmica η. As forças envolvidas são esquematizadas na Figura 01 abaixo.

P: peso do corpo = m g.

Fe: força de empuxo conforme princípio de Arquimedes. Deve ser igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Considerando mf a massa desse volume, Fe = mf g.

Fa: força de atrito com o fluido = K η v conforme página anterior, com
K = 6 π R para a esfera.

Aplicando a segunda lei de Newton para a resultante das forças, m a = m g − mf g − K η v #A.1#.

Movimento de um corpo sólido em um fluido
Fig 01
A igualdade acima estabelece uma relação entre a aceleração do corpo e a sua velocidade. Isso ocorre porque, ao contrário do atrito entre sólidos, a força de atrito depende da velocidade. Pode-se notar que a aceleração diminui com o aumento da velocidade. Então, o corpo deverá atingir uma velocidade tal que a aceleração seja nula. A partir desse ponto, o movimento será uniforme e essa velocidade será a máxima alcançada. Por isso, denominada velocidade terminal ou velocidade limite do corpo no meio fluido.

O sentido do movimento pode ser para baixo ou para cima. Isso depende da relação entre massas específicas do corpo e do fluido. Exemplos: para uma esfera maciça de aço em água, o movimento é para baixo. Uma esfera oca de aço em água pode ir para cima ou para baixo dependendo da espessura da parede. Um balão na atmosfera vai para cima, etc.

Para as hipóteses deste tópico, a velocidade limite pode ser calculada fazendo a = 0 na igualdade anterior:

vL = (m − mf) g / (K η) #B.1#.

O volume da esfera é V = (4/3) π R3. Convencionando μ a massa específica do sólido e μf a do fluido,

m = μ V = (4/3) π R3 μ e mf = μf V = (4/3) π R3 μf. Ou m − mf = (4/3) π R3 (μ − μf).

Conforme página anterior, K = 6 π R. Substituindo tudo em #B.1#,

vL = 2 (μ − μf) g R2 / (9 η) #C.1#.



Velocidade versus tempo do corpo no meio fluido

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Supondo as mesmas condições do tópico anterior, pode-se calcular a variação da velocidade do corpo com o tempo. Para isso, substitui-se a por dv/dt na igualdade #A.1#:

m dv/dt = (m − mf) g − K η v = − [ K η v − (m − mf) g ].

m dv/dt = − K η [ v − (m − mf) g / (K η) ].

dv/dt = − (K η / m) [ v − (m − mf) g / (K η) ].

dv / [ v − (m − mf) g / (K η) ] = − (K η / m) dt. Na integração, considera-se de t = 0 a t e de v = 0 a v (velocidade inicial nula).

0,v dv / [ v − (m − mf) g / (K η) ] = ∫0,t − (K η / m) dt.

Velocidade versus tempo do corpo no meio fluido
Fig 01
ln [ v − (m − mf) g / (K η) ] − ln [ 0 − (m − mf) g / (K η) ] = − (K η / m) t.
ln { [ v − (m − mf) g / (K η) ] / [ − (m − mf) g / (K η) ] } = − (K η / m) t.

[ v − (m − mf) g / (K η) ] / [ − (m − mf) g / (K η) ] = e− (K η / m) t.
[ v − (m − mf) g / (K η) ] = − (m − mf) g / (K η) e− (K η / m) t.

E o resultado final é

v = [ (m − mf) g / (K η) ] [ 1 − e− (K η / m) t ] #A.1#.


Observar que, para t = ∞, a segunda expressão entre colchetes se torna igual a 1 e a velocidade é (m − mf) g / (K η), valor idêntico à velocidade-limite calculada no tópico anterior. Curva típica conforme Figura 01.

Com essa igualdade, pode-se calcular a dissipação (energia por unidade de tempo, potência) da força não conservativa de um corpo em queda livre num meio fluido. Despreza-se a força de empuxo e, portanto, mf = 0 na equação anterior.

Considerando o eixo y referência, dWnc / dt = Fnc dy/dt. Onde Wnc e Fnc se referem ao trabalho e à força não conservativa. Fnc = K η v conforme lei de Stokes. Desde que dy/dt = v,

dWnc / dt = K η v v = K η v2. Substituindo a velocidade pelo valor dado em #A.1#,

dWnc / dt = [ m2 g2 / (K η) ] [ 1 − e− (K η / m) t ]2 #B.1#.

Essa é a energia por unidade de tempo transferida para o fluido em forma de calor. Para t = ∞, o segundo termo se torna igual a 1. Pode-se assim dizer que, em regime estacionário, a dissipação é dada por:

dWnc / dt = [ m2 g2 / (K η) ] #B.2#.



Outras considerações

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Conforme já mencionado, os cálculos até agora vistos, baseados na equação de Stokes, são válidos para baixas velocidades, sem os efeitos decorrentes de turbulências.

A tabela abaixo dá valores aproximadamente reais de velocidades-limite no ar para alguns corpos.

Corpo Massa kg Área transversal m² Velocidade limite m/s Velocidade limite km/h
Gota de chuva diâmetro 0,4 cm 0,000034 0,000013 9 32,4
Granizo diâmetro 1,0 cm 0,00048 0,000079 14 50,4
Pára-quedista (*) 75 0,70 60 216,0

(*) naturalmente, com o pára-quedas fechado. Depois de aberto, a velocidade terminal deve estar na faixa de 6 m/s (≈ 22 km/h).

Faz-se agora uma comparação com os resultados calculados com a fórmula #C.1# do tópico Movimento de um corpo sólido em um fluido, obtida pela lei de Stokes.

Para a gota de chuva D = 0,4 cm = 4 10−3 m, o raio é R = D/2 = 2 10−3 m. Massa específica da água μ = 103 kg/m3 e despreza-se a do ar (μf) por ser pequena. Viscosidade dinâmica do ar η = 1,8 10−5 Pa s conforme página anterior. Assim,

vL = 2 (μ − μf) g R2 / (9 η) = 2 103 9,81 (2 10-3)2 / (9 1,8 10−5) ≈ 484 m/s. A comparação com a tabela acima demonstra que a lei de Stokes não é válida porque deve haver ação de turbulências.


Para velocidades maiores, a força de atrito do ar é aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade

Fa = (1/2) C μar S v2 #A.1#. Onde:

C: coeficiente de arraste. Para esfera C = 0,5. Pode chegar a valores perto de 2 para formas irregulares.
μar: massa específica do ar.
S: área da seção transversal.
v: velocidade.

E, desprezando a força de empuxo, a velocidade limite pode ser obtida com procedimento similar ao do primeiro tópico

0 = mg − (1/2) C μar S vL2 ou

vL = [ 2 m g / ( C μar S) ]1/2 #B.1#.

Para o pingo de chuva anterior, S = π R2 = 1,26 10−5 m2. Massa m = 3,4 10−5 kg. Massa específica do ar μar ≈ 1,293 kg/m3. Calculando com a fórmula acima,

vL = [ 2 3,4 10−5 9,81 / (0,5 1,293 1,26 10−5) ]1/2 ≈ 9 m/s.

Última atualização ou revisão: Dez/2007 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |
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