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Na maioria dos casos práticos, há sempre a presença de alguma força não conservativa, mesmo que seja desprezível ou não predominante. Exemplos: um corpo em queda livre sofre ação da gravidade (conservativa) e também do atrito com o ar (não conservativa). Um corpo que rola ou desliza sobre uma superfície sofre ação do atrito. E muitos outros casos.
Esta página traz algumas considerações teóricas básicas sobre forças de atrito e suas relações com a conservação da energia.
Se uma partícula está sob ação de forças conservativas, a lei da conservação da energia é dada pela fórmula já vista:
Ec + Ep = constante.
Onde Ec e Ep são as parcelas de energia cinética e potencial respectivamente. Para um trajeto entre dois pontos quaisquer 1 e 2, pode-se estão escrever:
Ec2 + Ep2 = Ec1 + Ep1 #A.1#.
Entretanto, se também ocorre ação de forças não conservativas (atritos), a equação anterior deve tomar a forma:
Ec2 + Ep2 = Ec1 + Ep1 + Wnc #B.1#.
Onde Wnc é o trabalho das forças não conservativas. Notar que ele é normalmente negativo porque atritos se opõem às direções dos movimentos.
Exemplo: a queda livre de um corpo de massa m, partindo da imobilidade (ponto 1, altura h) até o solo (ponto 2, altura 0). Se não há resistência do ar, ocorre apenas força conservativa (gravidade). Então,
Ec1 = 0. Ep1 = m g h. Ec2 = (1/2) m v22. Ep2 = 0.
m v22 + 0 = 0 + m g h #C.1#. E a velocidade final v2 pode ser facilmente calculada.
Se agora for considerada a resistência do ar, deve-se ter:
m v22 + 0 = 0 + m g h + Wnc #D.1#. Desde que Wnc é um número negativo, a velocidade final deverá ser menor que a calculada pela igualdade anterior, fato que está em perfeita harmonia com a intuição prática.
Nos próximos tópicos, são dados alguns conceitos teóricos sobre forças de atrito em sólidos e em fluidos.
Seja um corpo de massa m que desliza sobre uma superfície plana conforme Figura 01 abaixo. No sentido vertical, a força peso P ( = mg) é contrabalançada pela reação normal da superfície N = − P. Se uma força horizontal F é aplicada para arrastar o corpo, a observação prática mostra que haverá uma força contrária Fa, ou seja, uma força de atrito.
Teoricamente, a magnitude da força de atrito é proporcional à força normal:
Fa = μ N #A.1#.
O fator de proporcionalidade (μ) é denominado coeficiente de atrito.
Para as mesmas superfícies e nas mesmas condições, o coeficiente de atrito apresenta dois valores distintos:
a) se o corpo está parado e F é a menor força que inicia o movimento, ocorre o coeficiente de atrito estático (μe).
b) se o corpo se move em relação à superfície, ocorre o coeficiente de atrito de deslizamento (μd).
Em qualquer caso, pode-se observar que μe > μd. Isso significa que a força mínima para iniciar o movimento é maior que a força mínima para manter o movimento.
Considerando o corpo em movimento, pode-se aplicar a lei de Newton para a força resultante:
m a = F − μd N #B.1#.
Um exemplo clássico do estudo de atrito é o plano inclinado conforme Figura 02.
O peso é P = mg e a força normal N = P cos α = m g cos α.
Supondo o corpo em movimento, este é o balanço das forças paralelas ao plano:
R = m a = F − P sen α − Fa = F − m g sen α − μd m g cos α.
F = m [ a + g (sen α + μd cos α) ] #C.1#.
Com essa equação, pode-se determinar facilmente a força necessária para movimentar o corpo para cima sob determinada aceleração a (se o movimento é uniforme, a = 0).
Na direção contrária (movimento para baixo), igualdade similar pode ser deduzida:
F = m [ a − g (sen α − μd cos α) ] #D.1#.
Outros casos de atrito entre sólidos e tabelas de coeficientes podem ser vistos nas páginas Forças de atrito I-10 e Forças de atrito I-20.
Quanto ao trabalho executado pela força de atrito, não há maiores dificuldades de cálculo. Desde que só depende da força normal, ela é constante em muitos casos, como neste exemplo do plano inclinado. Portanto, nessa condição, seria o simples produto matemático da força pelo deslocamento.
Se a questão é saber, para um determinado corpo e coeficiente de atrito, o maior ângulo α que o plano pode ter sem movimentar (Figura 03), usa-se o coeficiente estático.
Fa = μe N = μe m g cos α = m g sen α.
Simplificando a igualdade acima,
μe = sen α / cos α = tan α #E.1#.
Portanto, o maior ângulo que o plano pode ter sem movimentar o corpo é tal que sua tangente trigonométrica é igual ao coeficiente de atrito estático entre as superfícies em contato.
Se um corpo se move, em baixa velocidade, através de um fluido, a magnitude da força de atrito exercida pelo fluido é dada por:
Fa = K η v #A.1#. Onde:
K: coeficiente que depende da forma do corpo.
η: viscosidade dinâmica do fluido.
v: velocidade do deslocamento.
Para uma esfera de raio R, o valor de K é 6 π R. Substituindo na anterior,
Fa = 6 π R η v #B.1#. Essa igualdade é denominada equação ou lei de Stokes.
O conceito de viscosidade dinâmica pode ser visto na página Fluidos I-10. A tabela abaixo dá valores de viscosidade dinâmica para alguns fluidos.
1) No estado líquido se não indicado ou no estado gasoso se indicado por (g). Temperatura 20ºC.
2) A unidade 10−1 Pa s equivale a 1 Poise.
Esta página traz algumas considerações teóricas básicas sobre forças de atrito e suas relações com a conservação da energia.
Energia e forças não conservativas |
Topo | Fim |
Se uma partícula está sob ação de forças conservativas, a lei da conservação da energia é dada pela fórmula já vista:
Ec + Ep = constante.
Onde Ec e Ep são as parcelas de energia cinética e potencial respectivamente. Para um trajeto entre dois pontos quaisquer 1 e 2, pode-se estão escrever:
Ec2 + Ep2 = Ec1 + Ep1 #A.1#.
Entretanto, se também ocorre ação de forças não conservativas (atritos), a equação anterior deve tomar a forma:
Ec2 + Ep2 = Ec1 + Ep1 + Wnc #B.1#.
Onde Wnc é o trabalho das forças não conservativas. Notar que ele é normalmente negativo porque atritos se opõem às direções dos movimentos.
Exemplo: a queda livre de um corpo de massa m, partindo da imobilidade (ponto 1, altura h) até o solo (ponto 2, altura 0). Se não há resistência do ar, ocorre apenas força conservativa (gravidade). Então,
Ec1 = 0. Ep1 = m g h. Ec2 = (1/2) m v22. Ep2 = 0.
m v22 + 0 = 0 + m g h #C.1#. E a velocidade final v2 pode ser facilmente calculada.
Se agora for considerada a resistência do ar, deve-se ter:
m v22 + 0 = 0 + m g h + Wnc #D.1#. Desde que Wnc é um número negativo, a velocidade final deverá ser menor que a calculada pela igualdade anterior, fato que está em perfeita harmonia com a intuição prática.
Nos próximos tópicos, são dados alguns conceitos teóricos sobre forças de atrito em sólidos e em fluidos.
Atrito entre sólidos |
Topo | Fim |
Seja um corpo de massa m que desliza sobre uma superfície plana conforme Figura 01 abaixo. No sentido vertical, a força peso P ( = mg) é contrabalançada pela reação normal da superfície N = − P. Se uma força horizontal F é aplicada para arrastar o corpo, a observação prática mostra que haverá uma força contrária Fa, ou seja, uma força de atrito.
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| Fig 01 |
Fa = μ N #A.1#.
O fator de proporcionalidade (μ) é denominado coeficiente de atrito.
Para as mesmas superfícies e nas mesmas condições, o coeficiente de atrito apresenta dois valores distintos:
a) se o corpo está parado e F é a menor força que inicia o movimento, ocorre o coeficiente de atrito estático (μe).
b) se o corpo se move em relação à superfície, ocorre o coeficiente de atrito de deslizamento (μd).
Em qualquer caso, pode-se observar que μe > μd. Isso significa que a força mínima para iniciar o movimento é maior que a força mínima para manter o movimento.
Considerando o corpo em movimento, pode-se aplicar a lei de Newton para a força resultante:
m a = F − μd N #B.1#.
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| Fig 02 |
O peso é P = mg e a força normal N = P cos α = m g cos α.
Supondo o corpo em movimento, este é o balanço das forças paralelas ao plano:
R = m a = F − P sen α − Fa = F − m g sen α − μd m g cos α.
F = m [ a + g (sen α + μd cos α) ] #C.1#.
Com essa equação, pode-se determinar facilmente a força necessária para movimentar o corpo para cima sob determinada aceleração a (se o movimento é uniforme, a = 0).
Na direção contrária (movimento para baixo), igualdade similar pode ser deduzida:
F = m [ a − g (sen α − μd cos α) ] #D.1#.
Outros casos de atrito entre sólidos e tabelas de coeficientes podem ser vistos nas páginas Forças de atrito I-10 e Forças de atrito I-20.
Quanto ao trabalho executado pela força de atrito, não há maiores dificuldades de cálculo. Desde que só depende da força normal, ela é constante em muitos casos, como neste exemplo do plano inclinado. Portanto, nessa condição, seria o simples produto matemático da força pelo deslocamento.
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| Fig 03 |
Fa = μe N = μe m g cos α = m g sen α.
Simplificando a igualdade acima,
μe = sen α / cos α = tan α #E.1#.
Portanto, o maior ângulo que o plano pode ter sem movimentar o corpo é tal que sua tangente trigonométrica é igual ao coeficiente de atrito estático entre as superfícies em contato.
Atrito entre sólidos e fluidos |
Topo | Fim |
Se um corpo se move, em baixa velocidade, através de um fluido, a magnitude da força de atrito exercida pelo fluido é dada por:
Fa = K η v #A.1#. Onde:
K: coeficiente que depende da forma do corpo.
η: viscosidade dinâmica do fluido.
v: velocidade do deslocamento.
Para uma esfera de raio R, o valor de K é 6 π R. Substituindo na anterior,
Fa = 6 π R η v #B.1#. Essa igualdade é denominada equação ou lei de Stokes.
O conceito de viscosidade dinâmica pode ser visto na página Fluidos I-10. A tabela abaixo dá valores de viscosidade dinâmica para alguns fluidos.
| Fluido | η (10−1 Pa s) | Fluido | η (10−1 Pa s) |
| Acetona | 0,0032 | Hélio (g) | 0,00019 |
| Água | 0,01 | Óleo leve | 1,1 |
| Álcool etílico | 0,012 | Óleo pesado | 6,6 |
| Amônia (g) | 0,000097 | Mercúrio | 0,016 |
| Ar (g) | 0,00018 | Metano (g) | 0,00020 |
| Dióxido de carbono (g) | 0,00015 | Nitrogênio (g) | 0,00018 |
| Gasolina | 0,006 | Oxigênio (g) | 0,00020 |
| Glicerina | 14,9 | Vapor d'água 100 ºC (g) | 0,00013 |
| Hidrogênio (g) | 0,000093 | - | - |
1) No estado líquido se não indicado ou no estado gasoso se indicado por (g). Temperatura 20ºC.
2) A unidade 10−1 Pa s equivale a 1 Poise.
| Última atualização ou revisão: Dez/2007 | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | |
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