Introdução - Forças conservativas

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De acordo com conceitos já vistos, o trabalho infinitesimal de uma força F cujo ponto de aplicação se desloca em uma trajetória genérica C, conforme Figura 01 (a), é dado por:

dW = F · dr #A.1#. É, portanto, o produto escalar do vetor força F pelo vetor deslocamento infinitesimal dr na trajetória.

Entre dois pontos quaisquer A e B, conforme (b) da mesma figura, o trabalho é dado pela integração W_A,B = ∫_A,B F · dr #B.1#.

Fig 01

Por essa relação, pode-se dizer que, por via de regra, o trabalho entre dois pontos é dependente do trajeto que a força percorre entre esses pontos. Assim, o trabalho entre A e B dependeria do caminho considerado (C, C', C'', C'', etc)

Mas há situações em que o trabalho é independente do caminho, relacionando-se apenas com a posição física (coordenadas) dos pontos A e B. Nesses casos, diz-se que a força F pertence à classe das forças conservativas.

Pode-se então expressar, de forma genérica, a igualdade anterior para forças conservativas:


W_A,B = ∫_A,B F · dr = Ep(A) − Ep(B) #C.1#.

Nessa igualdade, Ep é uma função que depende apenas da posição do ponto. Em Ep(A), por exemplo, A significa as coordenadas do ponto A, equivalente a Ep(A_x, A_y) ou Ep(A_x, A_y, A_z) se for em três dimensões.

Essa função Ep, cuja diferença entre dois pontos é o trabalho de uma força conservativa entre eles, é denominada energia potencial. Como se trata de diferença entre dois valores, um deles é arbitrário. Em geral, costuma-se adotar uma posição de referência com energia potencial zero.

Fig 02

A Figura 02 dá dois exemplos de forças conservativas.

Em (a), há o caso da ação gravitacional, já vista em página anterior. Considera-se o nível do solo A como referência e, portanto, Ep(A) = 0.

Se um corpo de peso P é levado de A até B, situado a uma altura h, a energia potencial em B é dada por

Ep(B) = P h = m g h #D.1#.

Essa igualdade simples ocorre porque a força peso é constante em direção e em magnitude (aproximação válida para alturas relativamente pequenas). Assim, o trabalho é o produto matemático da força pelo deslocamento.


No caso de uma mola ideal como em (b) da figura, a magnitude da força não é constante porque, conforme lei de Hooke, F = k x, onde k é a constante da mola. Assim, para um deslocamento x, é preciso fazer a integração.

W = ∫_0,x k x dx = (1/2) k x². Portanto, a energia potencial em B (supondo nula em A) é Ep(B) = (1/2) k x² #E.1#.

Notar que uma característica importante das forças conservativas é a reversibilidade do processo. No caso da mola, por exemplo, o trabalho gasto para estender de A até B é recuperado quando ela se contrai de B até A. Coisa similar ocorre quando o peso P é levado de A até B e retorna de B para A. Forças não conservativas não apresentam essa propriedade. O trabalho executado por uma força não conservativa é dissipado na forma de calor. Forças de atrito são os exemplos mais comuns de forças não conservativas.

Formulação genérica da energia potencial

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A equação #C.1# do tópico anterior permite escrever:

F · dr = − dEp #A.1#. Pela definição de produto escalar e de acordo com (a) da Figura 01 do tópico anterior,

F . dr = − F dr cos φ #A.2#. Mas a diferença infinitesimal dr pode ser vista como um caminho dC correspondente na curva. Assim,

F cos φ = F_T = − dEp / dC #B.1#.

Isso significa que o componente da força, F_T, na "direção" da curva é dado pela derivação da energia potencial em relação à mesma. Por analogia pode-se então supor que, num sistema de coordenadas, os componentes das forças são dados pela derivação da energia potencial em relação a cada eixo. Generalizando para um sistema tridimensional,

Fx = − ∂ Ep / ∂ x

Fy = − ∂ Ep / ∂ y

Fz = − ∂ Ep / ∂ z

#C.1#

Usando vetores unitários, pode-se representar o vetor F em função dos componentes dados acima:

F = − (∂ Ep / ∂ x) i − (∂ Ep / ∂ y) j − (∂ Ep / ∂ z) k #D.1#.

Onde i, j, k são os vetores unitários nos eixos x, y, z respectivamente. Mas, de acordo com a definição do operador vetorial, essa igualdade equivale a

F = − grad Ep #E.1#. Ou seja, a força é igual ao negativo do gradiente da energia potencial.

Outras considerações

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Uma força central é que se dirige sempre para o mesmo ponto, independente do seu ponto de ação. Na Figura 01 (a) deste tópico, supõe-se que F é uma força central dirigida para a origem O do sistema de coordenadas.

Fig 01

Se o deslocamento dr é decomposto em componentes ao longo de F (dr) e perpendicular à mesma (r dα), pode-se determinar os componentes da força em função da energia potencial de forma similar à do tópico anterior.

Mas o componente perpendicular é nulo porque a força é central. Assim,

F = − dEp / dr #A.1#.

Essa igualdade significa que, para uma força central, a energia potencial só depende da distância em relação ao centro de aplicação da força.


Outro aspecto, intuitivo e importante, é dado em (b) da mesma figura: se uma força conservativa percorre um caminho fechado, o trabalho realizado é nulo porque os pontos inicial e final (A e B) coincidem e, portanto, Ep(A) = Ep(B).

∫_O F · dr = 0 #B.1#. Onde o índice O significa a integral ao longo de um caminho fechado. Notar que isso não é verdadeiro para forças não conservativas (atrito).

Exemplos

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Exemplo 01: na Figura 01 (a), um corpo de massa m está a uma altura h da extremidade superior de uma mola vertical de constante k.

Se o corpo é deixado cair, ele atinge a mola depois de algum tempo como em (b) da figura. Depois, a mola sofre uma deformação máxima d, como em (c) da figura.

Fig 01

Deseja-se saber essa deformação máxima em função dos parâmetros supostamente conhecidos m, h e k. É suposta uma situação ideal, isto é, sem atritos e aceleração da gravidade constante e igual a g.

Considera-se o nível A como referência, isto é, energia potencial nula Ep(A) = 0.

Em B o corpo está em repouso. Portanto, energia cinética nula e energia potencial m g h. Ao chegar em A, a energia potencial será nula.

Segundo o princípio da conservação da energia,

E_total = Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B)

E_total = 0 + m g h = (1/2) m v_B² + 0.

Na deformação máxima da mola (C da figura), a velocidade é nula e, portanto, a energia cinética também é. E a energia total deve ser igual à energia potencial do corpo mais a energia potencial de deformação da mola. Esta última, conforme #E.1# de Introdução - Forças conservativas é dada por (1/2) k d². Assim,

E_total = − m g d + (1/2) k d². Igualando com a anterior, − m g d + (1/2) k d² = m g h.

(1/2) k d² − m g d − m g h = 0. E a deformação máxima d é uma das soluções dessa equação do segundo grau.


Exemplo 02: em (a) da Figura 02, uma mola livre de constante k. Em (b) um disco de massa m₁ é colocado sobre a mola e a condição de equilíbrio é alcançada, contraindo a mola de uma distância d₁. Um corpo de massa m₂ está a uma altura h desse disco. O corpo é liberado e, em (c), há o impacto com o disco, que é suposto perfeitamente plástico. Devido ao impacto, a deformação da mola aumenta até um acréscimo máximo d₂, indicado em (d) da figura. Deseja-se saber os valores d₁ e d₂ sob as seguintes premissas:

Constante da mola k = 17.500 N/m | Massa m₁ = 12 kg | Massa m₂ = 24 kg | Altura h = 1,8 m | Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s² | Condições ideais, sem atritos |

Fig 02

A deformação d₁ é estática e, portanto, é calculada pelo simples equilíbrio entre o peso da massa m₁ e a força da mola: m₁ g = k d₁.
d₁ = 12 9,81 / 17.500 ≈ 0,0067 m.

No choque perfeitamente plástico, as duas massas se juntam após a colisão, como se fossem um único corpo. Então, a velocidade comum v pode ser determinada pela conservação do momento linear no choque:

m₁ v₁ + m₂ v₂ = (m₁ + m₂) v.

A velocidade inicial da massa m₁ é nula, v₁ = 0. O valor de v₂ é dado pela queda livre de m₂ na altura h.

v₂² = 2 g h = 2 9,81 1,8 ≈ 35,3. Ou v₂ ≈ 5,94 m/s. Portanto, 12 0 + 24 5,94 = (12 + 24) v ou v = 142,56 / 36 ≈ 3,96 m/s.

Considerando o nível C referência para a energia potencial gravitacional, a energia total em C deve ser igual a

E_total = 0 + (1/2) k d₁² + (1/2) (m₁ + m₂) v² = 0 + 0,5 17500 0,0067² + 0,5 (12 + 24) 3,96² ≈ 282,66 J.

Desde que a velocidade em D é nula, a energia total é igual à soma da energia potencial das duas massas com a energia potencial de deformação da mola:

E_total = − (m₁ + m₂) g d₂ + (1/2) k (d₁ + d₂)². Fazendo d = d₁ + d₂, tem-se d₂ = d − 0,0067. Substituindo,

E_total = − (12 + 24) 9,81 (d − 0,0067) + 0,5 17500 d². Igualando com o valor anterior,

− (12 + 24) 9,81 (d − 0,0067) + 0,5 17500 d² = 282,66. Ou, de forma aproximada,

8750 d² − 353 d − 280 = 0. A solução viável é d ≈ 0,20 m. Portanto, d₂ ≈ 0,20 − 0,0067 ≈ 0,19 m.