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Dinâmica I-20

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Tópicos: Momento Angular | Impulsão | Trabalho e Potência |

Obs: nesta página, vetores podem ser simbolizados por caractere em negrito ou seta sobreposta.


1) Momento Angular

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Seja, conforme figura a seguir, uma partícula de massa m que se desloca em uma trajetória genérica A em um plano P, com velocidade v em determinado ponto. O momento angular L dessa partícula em relação a um ponto O é dado pelo produto vetorial do vetor deslocamento r e do momento linear p da partícula:

$$\vec L = \vec r \times \vec p \tag{1A}$$
Momento Angular

Da definição de produto vetorial, conclui-se que o momento angular é um vetor que passa pelo ponto O e é perpendicular ao plano P. E, considerando a definição de momento linear (p = m v) o momento angular pode ser dado por:

$$\vec L = m( \vec r \times \vec v) \tag{1B}$$
Derivando (1A) em relação ao tempo,

$$\frac{d \vec L}{dt} = \frac{d \vec r}{dt} \times \vec p + \vec r \times \frac{d \vec p}{dt} \tag{1C}$$
O primeiro produto vetorial é nulo porque a derivada da posição é o vetor velocidade, que tem o mesmo alinhamento do vetor momento linear. No segundo, a derivada do momento linear em relação ao tempo é o vetor força. E o produto vetorial do deslocamento pela força é o torque. Portanto,

$$\frac{d \vec L}{dt} = \vec r \times \vec F = \vec \tau \tag{1D}$$
Ou seja, a variação do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque da força atuante na partícula.

Movimento circular: para esse caso particular, os vetores deslocamento e velocidade são perpendiculares entre si. Assim, o módulo do momento angular é dado por (onde ω é a velocidade angular):

$$L = m r v = m r^2 \omega \tag{1E}$$

2) Impulsão

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Seja a definição de força dada em página anterior:

$$\vec F = \frac{d \vec p}{dt} \tag{2A}$$
A variação infinitesimal do momento linear é $d \vec p = \vec F dt$. A impulsão entre dois instantes 1 e 2 é dada pela variação do momento linear:

$$I = \vec p_2 - \vec p_1 = \int_1^2 d\vec p = \int_1^2 \vec F \ dt \tag{2B}$$

3) Trabalho e Potência

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No esquema da figura seguinte, uma partícula se move segundo uma trajetória genérica A sob ação de uma força F não necessariamente constante.

Trabalho de uma Força

Para um deslocamento infinitesimal dr, o trabalho produzido dW é dado pelo produto escalar da força pelo deslocamento:

$$dW = \vec F \cdot d \vec r \tag{3A}$$
O comprimento do vetor dr equivale ao deslocamento infinitesimal sobre a curva, ds. Considerando a definição de produto escalar,

$$dW = F \ ds \ \cos \alpha = F_T ds \tag{3B}$$
Portanto, o trabalho é igual ao produto do deslocamento pela força atuante na sua direção. Na situação mais genérica, a força tangencial FT varia ao longo do deslocamento s na trajetória (figura a seguir).

Trabalho entre Dois Pontos

Portanto, o trabalho executado entre dois pontos quaisquer 1 e 2 é dado pela integração:

$$dW = \int_1^2 F_T ds \tag{3C}$$
Um caso particular frequente é o movimento retilíneo com força constante F na mesma direção do deslocamento ℓ:

$$W = F \ \ell \tag{3D}$$
A unidade básica de trabalho no Sistema Internacional é o Joule (J), equivalente a newton-metro (N m).

A potência instantânea P é definida como a variação do trabalho em relação ao tempo:

$$P = \frac{dW}{dt} = \vec F \cdot \frac{d \vec r}{dt} = \vec F \cdot \vec v \tag{3E}$$
Equivale, portanto, ao produto escalar da força pela velocidade. A unidade no Sistema Internacional é o watt (W), equivalente a Joule por segundo (J/s).

O conceito de potência não se aplica apenas ao deslocamento de uma partícula. É amplo e, por exemplo, em sistemas complexos como máquinas, sempre há um limite, isto é, uma potência máxima, significando o maior trabalho por unidade de tempo que pode ser feito.

O trabalho pode ser calculado em função da potência:

$$W = \int_1^2 P dt \tag{3F}$$
Se a potência é constante,

$$W = P (t_2 - t_1) \tag{3G}$$
No caso de movimento circular,

$$P = \vec F \cdot \vec v = \vec F \cdot (\vec \omega \times \vec r) = (\vec F \times \vec r) \cdot \vec \omega = \vec \tau \cdot \vec \omega \tag{3H}$$
Ou seja, para esse caso particular, é igual ao produto escalar do torque pela velocidade angular.

Topo | Rev: Dez/2007