Momento angular & impulsão

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Seja, conforme Figura 01, uma partícula de massa m que se desloca em uma trajetória genérica A em um plano P, com velocidade v em determinado ponto.

O momento angular L dessa partícula em relação a um ponto O é dado pelo produto vetorial do vetor deslocamento r e do momento linear p da partícula:

Fig 01

L = r × p #A.1#.

Lembrando a definição de produto vetorial, pode-se concluir que L é um vetor que passa pelo ponto O e é perpendicular ao plano P.

Considerando a definição de momento linear, p = m v, o momento angular pode ser dado por:

L = m (r × v) #A.2#.

Derivando #A.1# em relação ao tempo, dL/dt = dr/dt × p + r × dp/dt. Analisando as parcelas da soma,

• dr/dt × p = 0 porque dr/dt = v (velocidade), que tem o mesmo alinhamento de p.

• r × dp/dt = r × F = τ (torque). Portanto,

dL/dt = τ #B.1# (a variação do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque da força atuante na partícula).


Voltando à igualdade #A.2#, para o caso particular de movimento circular, os vetores v e r são perpendiculares entre si e, portanto, o módulo de L é dado por

L = m r v = m r² ω #C.1#.


Da definição de força F = dp / dt, tem-se dp = F dt. A impulsão I entre os instantes 1 e 2 é definida pela variação do momento linear:

I = p₂ − p₁ = ∫_1,2 dp = ∫_1,2 F dt #D.1#.

Trabalho & potência

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No esquema da Figura 01, uma partícula se move segundo uma trajetória genérica A sob ação de uma força F não necessariamente constante.

Fig 01

Para um deslocamento infinitesimal dr, o trabalho produzido dW é dado pelo produto escalar da força pelo deslocamento:

dW = F · dr #A.1#.

O comprimento do vetor dr equivale ao deslocamento infinitesimal sobre a curva, ds. Considerando a definição de produto escalar,

dW = F ds cos α = F_T ds #A.2#. Portanto, o trabalho é igual ao produto do deslocamento pela força atuante na sua direção.

Fig 02

Na situação mais genérica, a força tangencial F_T varia ao longo do deslocamento s na trajetória (Figura 02). Portanto, o trabalho executado entre dois pontos quaisquer 1 e 2 é dado pela integração:

W = ∫_1,2 F_T ds #B.1#.


Um caso particular bastante comum na prática é o movimento retilíneo com força constante F na mesma direção do deslocamento ℓ:

W = F ℓ #C.1#.

A unidade básica de trabalho no Sistema Internacional é o Joule (J), equivalente a newton-metro (N m). Outras podem ser vistas na página Conversão para unidades de energia.


A potência instantânea P é definida como a variação do trabalho em relação ao tempo:

P = dW/dt = F · dr/dt = F · v #D.1#.

Equivale, portanto, ao produto escalar da força pela velocidade. A unidade no Sistema Internacional é o watt (W), equivalente a Joule por segundo (J/s). Outras podem ser vistas na página Conversão para unidades de potência.

O conceito de potência não se aplica apenas ao deslocamento de uma partícula. É amplo e, por exemplo, em sistemas complexos como máquinas, sempre há um limite, isto é, uma potência máxima, significando o maior trabalho por unidade de tempo que pode ser feito.


O trabalho pode ser calculado em função da potência:

W = ∫_1,2 P dt #E.1#. Se a potência é constante, W = P (t₂ − t₁) #E.2#.


No caso de movimento circular,

P = F · v = F · (ω x r) = (F x r) · w = τ · ω #F.1#. Ou seja, é igual ao produto escalar do torque pela velocidade angular.

Energia cinética & potencial

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Da relação #B.1# do tópico anterior, W = ∫_1,2 F_T ds. Conforme definição de força, F = dp/dt = m dv/dt. Substituindo na anterior,

W = ∫_1,2 m (dv/dt) ds = ∫_1,2 m (ds/dt) dv = ∫_1,2 m v dv. Resolvendo a integral,

W = (1/2) m v₂² − (1/2) m v₁² #A.1#.

O termo (1/2) m v2 é a energia cinética da partícula. Da relação acima, observa-se que o trabalho é igual à variação da energia cinética.

Fig 01

Um caso particular importante é o trabalho executado por uma força constante em intensidade e direção. Na Figura 01, uma partícula se desloca entre os pontos 1 e 2 de uma trajetória genérica sob ação de força constante F.

W = ∫_1,2 F dr = F ∫_1,2 dr = F (r₂ − r₁).

W = F (r₂ − r₁)_x + F (r₂ − r₁)_y.

A primeira parcela é nula pois o componente horizontal (r₂ − r₁)_x é perpendicular a F.

W = F (r₂ − r₁)_y = F y₂ − F y₁ #B.1#.

Ou seja, o trabalho da força F não depende do caminho, mas apenas da diferença das coordenadas y. Essa conclusão é particularmente importante se a força F é a ação da gravidade (= − mg), isto é, o peso da partícula:

W = m g y₁ − m g y₂ #B.2#.

O termo m g y é a energia potencial e, portanto, o trabalho da ação da gravidade é dado pela diferença de energias potenciais. Essa diferença só depende das alturas e não do caminho percorrido.

Combinando #A.1# com #B.2#,

m g y₁ − m g y₂ = (1/2) m v₂² − (1/2) m v₁². Reagrupando, m g y₁ + (1/2) m v₁² = m g y₂ + (1/2) m v₂² #C.1#.

Da relação acima, pode-se concluir: E = E_p + E_c = constante #D.1#. Onde:

E: energia total.
E_p = m g y: energia potencial.
E_c = (1/2) m v²: energia cinética.

Esse é o princípio da conservação da energia para uma partícula.


Seja o caso da queda livre de um corpo de massa m a partir de uma altura h do solo com velocidade inicial nula. Usando a relação #C.1#, m g h + (1/2) m 0 = m g 0 + (1/2) m v². Portanto, o corpo toca o solo com velocidade

v = √(2 g h) #E.1#. Naturalmente, é desprezada a resistência do ar.

Fig 02

Exemplo 01

Na Figura 02, uma esfera de massa m, presa por um fio a um ponto O, executa um movimento circular no plano vertical. Forças de atrito não são consideradas.

Notar que não é um movimento circular uniforme porque, em um ponto genérico C, as forças atuantes são o peso P e a força centrípeta F. Assim, a resultante não é dirigida para o centro do círculo, havendo aceleração tangencial. Mas, nos pontos extremos A e B, as forças estão no mesmo alinhamento e voltadas para o centro. Isso anula a aceleração tangencial, ocorrendo apenas a aceleração normal nesses pontos.

Conforme relações da Dinâmica, a força centrípeta é dada por:

F = m a_N = m ω² R (para o movimento circular).

Mas v = ω R. Assim, F = m v² / R.

Para manter o fio esticado, a velocidade no ponto superior v_A deve ser tal que a força centrípeta necessária seja maior que o peso (P = m g) da esfera. Na situação limite, pode-se dizer que deve ser igual:

m g = m v_{A_min}² / R. Ou v_{A_min} = √(g R).

Aplicando a conservação da energia entre os pontos A e B,

m g (2R) + (1/2) m v_A² = m g (0 R) + (1/2) m v_B² (considerando altura zero em B).

Resolvendo para o valor mínimo de v_A,

v_{B_min} = √(5gr). Fica para o leitor o cálculo da força de tração no fio para o ponto B.

Fig 03

Exemplo 02

Seja, conforme Figura 03, um automóvel de massa m = 1000 kg que sobre uma rampa de inclinação α = 10º sob velocidade constante v = 50 km/h (ou 13,9 m/s). Deseja-se saber a energia que o motor deve fornecer para percorrer 100 m ao longo da rampa, desprezando todas as perdas devido a atritos.

O peso é P = m g = 1000 9,81 = 9810 N. Também sen α ≈ 0,174 e cos α ≈ 0,985.


Decompondo o peso em forças paralela e normal ao plano, a reação do plano N igual a P cos α.

Desde que o movimento é retilíneo uniforme, a resultante das forças deve ser nula. Assim, a força F, exercida pelo motor, deve ser igual a P sen α.

F = P sen α = 9810 x 0,174 ≈ 1707 N.

Para percorrer 100 m, a energia (= trabalho) é E = 1707 x 100 ≈ 1,7 10⁵ J.

Notar que, na hipótese considerada (sem atritos), a energia não depende da velocidade. Esta última tem influência na potência fornecida pelo motor. Na velocidade mencionada (13,9 m/s), a potência necessária é:

P = F v = 1707 x 13,9 ≈ 23,7 kW.